描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：13, 60, 33, 24, 27, 18, 26。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 625 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 100x = 625
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3
σ =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.2
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 20.3 和 42.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 20.3x2 = 42.8
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm80%
x = cm
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 2.2。 基于 200 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 100E₁ = 2.295%n₂ = 200
E₂ =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 32.5 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 21.5 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 12x̄₁ = 32.5s₁ = 5.5n₂ = 5x̄₂ = 21.5s₂ = 895%t(15) = 2.131
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 100.3，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 100.3s = 4n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 509.75。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 509.75σ = 20n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 48？
n = 5ŷ = 48
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.23
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/7 = 28.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15.71)² + 31.29² + 4.286² + (−4.714)² + (−1.714)² + (−10.71)² + (−2.714)² = 1391
标准差
s = √(1391/6) = 15.23
答案
s = 15.23
2.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (625 − 500)/100 = 1.25
答案
z = 1.25
3.概率
答案: σ = 1.161
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.3 = 1.55
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.3 = 3.75
方差
Var(X) = 3.75 − 1.55² = 1.348
σ = √1.348 = 1.161
答案
σ = 1.161
4.概率
答案: P = 0.4362
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.89 = 0.1342
P(X = 1) = 9·0.2·0.88 = 0.302
相加
P = 0.1342 + 0.302 = 0.4362
答案
P = 0.4362
5.正态分布
答案: P = 0.9385
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (20.3 − 32)/6 = −1.95
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.95) = 0.9641 − 0.02559 = 0.9385
答案
P = 0.9385
6.正态分布
答案: x = 172.1 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm
答案
x = 172.1 cm
7.置信区间
答案: E₂ = 1.184
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(100/200) = 0.538
新的误差范围
E₂ = 2.2·0.538 = 1.184
答案
E₂ = 1.184
8.置信区间
答案: 下限 = 3.894 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (11·5.5² + 4·8²)/15 = 39.25
sp = 6.265
误差范围
E = 2.131·6.265·√(1/12 + 1/5) = 7.106
区间
11 ± 7.106 → [3.894, 18.11]
答案
下限 = 3.894 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.675
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (100.3 − 100)/0.4444 = 0.675
答案
t = 0.675
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 94.23 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 500 + 2.326·2.5 = 505.8
真实均值下的 z
z = (505.8 − 509.75)/2.5 = −1.574
功率
功效 = P(Z > −1.574) = 94.23%
1 − β = 94.23%
答案
1 − β = 94.23%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9914
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 110.8
相关系数
r = 66/√(40·110.8) = 0.9914
答案
r = 0.9914
12.线性回归与相关
答案: x = 21.93
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 185/5 = 37
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
回归直线
b = 150/40 = 3.75
a = 37 − 3.75·19 = −34.25
ŷ = −34.25 + 3.75·x
解出 x
x = (48 − (−34.25))/3.75 = 21.93
答案
x = 21.93
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