描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：60, 57, 12, 45, 59。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 545 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 75x = 545
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.35, 0.3, 0.25
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €5，以概率 0.05 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.25€50: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.7794。求 z，保留两位小数。
A = 0.7794
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 82，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 12x̄ = 82s = 399%t(11) = 3.106
E =
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 97.75，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 97.75s = 10n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 44 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 33 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 33n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 16)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 16)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 20.26
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 233/5 = 46.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.4² + 10.4² + (−34.6)² + (−1.6)² + 12.4² = 1641
标准差
s = √(1641/4) = 20.26
答案
s = 20.26
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (545 − 500)/75 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: σ = 1.908
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.1 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.1 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.25 = 15.2
方差
Var(X) = 15.2 − 3.4² = 3.64
σ = √3.64 = 1.908
答案
σ = 1.908
4.概率
答案: E(G) = 2.75 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.25), 49 (p = 0.05), −1 (p = 0.7)
期望值
E(G) = 4·0.25 + 49·0.05 − 1·0.7 = 2.75 €
答案
E(G) = 2.75 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = −0.77
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.7794 = 0.2206
反向查 z 表
在表中找到 0.2206，读出 z。
z = −0.77
答案
z = −0.77
6.正态分布
答案: P = 0.9633
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79
概率
P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633
答案
P = 0.9633
7.置信区间
答案: E = 2.69
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 3.106
误差范围
E = 3.106·3/√12 = 2.69
答案
E = 2.69
8.置信区间
答案: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.025² = 1082
向上取整
n = 1083
答案
n = 1083
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (97.75 − 100)/2.5 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.74
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 44/80 = 0.55
p̂₂ = 33/80 = 0.4125
p̂ = 77/160 = 0.4813
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4813·0.5188·(1/80 + 1/80)) = 0.079
检验统计量
z = (0.55 − 0.4125)/0.079 = 1.74
答案
z = 1.74
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9773
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 293/5 = 58.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1433
相关系数
r = 351/√(90·1433) = 0.9773
答案
r = 0.9773
12.线性回归与相关
答案: e = 2.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 81/6 = 13.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39.5
回归直线
b = −39.5/17.5 = −2.257
a = 13.5 − (−2.257)·3.5 = 21.4
ŷ = 21.4 − 2.257·x
预测值
ŷ = 21.4 + (−2.257)·3.5 = 13.5
残差
e = 16 − 13.5 = 2.5
答案
e = 2.5
该点位于直线上方。
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