统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：41, 30, 52, 42, 38。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值高于 80 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 80

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.2

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.35, 0.15Y = 5X + 20

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8485。求 z，保留两位小数。

A = 0.8485

z =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 83.5，标准差 s = 9。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 15x̄ = 83.5s = 995%t(14) = 2.145

下限 =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 77 kg，标准差 4 kg。地块组 2：7 块地，均值 88.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 7x̄₁ = 77s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 88.5s₂ = 490%t(12) = 1.782

下限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 201.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 201.9s = 8n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 120.3。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的下限 L。

x̄ = 120.3σ = 5n = 8195%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 25Σy = 255Σx² = 135Σy² = 13025Σxy = 1285

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 14？

n = 5ŷ = 14

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 7.925

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 203/5 = 40.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.4² + (−10.6)² + 11.4² + 1.4² + (−2.6)² = 251.2

标准差

s = √(251.2/4) = 7.925

答案

s = 7.925

2.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

3.概率

答案: σ = 2.047

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 2·0.35 + 4·0.25 + 6·0.2 = 2.9

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.35 + 16·0.25 + 36·0.2 = 12.6

方差

Var(X) = 12.6 − 2.9² = 4.19

σ = √4.19 = 2.047

答案

σ = 2.047

4.概率

答案: σ_Y = 10.2

X 的离散程度

μ = 2.8, Var(X) = 4.16, σ_X = 2.04

线性变换

σ_Y = |5|·2.04 = 10.2

答案

σ_Y = 10.2

均值确实会改变：E(Y) = 5·2.8 + 20 = 34。

5.正态分布

答案: z = −1.03

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.8485 = 0.1515

反向查 z 表

在表中找到 0.1515，读出 z。

z = −1.03

答案

z = −1.03

6.正态分布

答案: x = 251.3 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.6

由表得到的 z

z ≈ 0.25

回到原来的单位

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

答案

x = 251.3 g

7.置信区间

答案: 下限 = 78.52

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 2.145

误差范围

E = 2.145·9/√15 = 4.985

区间

83.5 ± 4.985 → [78.52, 88.48]

答案

下限 = 78.52

8.置信区间

答案: 下限 = −15.31 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (6·4² + 6·4²)/12 = 16

s_p = 4

误差范围

E = 1.782·4·√(1/7 + 1/7) = 3.81

区间

−11.5 ± 3.81 → [−15.31, −7.69]

答案

下限 = −15.31 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = 1.188

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

检验统计量

t = (201.9 − 200)/1.6 = 1.188

答案

t = 1.188

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 119.2

误差范围

E = 1.96·5/√81 = 1.089

区间端点

L = 120.3 − 1.089 = 119.2

答案

L = 119.2

11.线性回归与相关

答案: r = 0.7071

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1285 − 25·255/5 = 10

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 13025 − 255²/5 = 20

答案

r = 0.7071

12.线性回归与相关

答案: x = 3.027

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

回归直线

b = 148/40 = 3.7

a = 25 − 3.7·6 = 2.8

ŷ = 2.8 + 3.7·x

解出 x

x = (14 − 2.8)/3.7 = 3.027

答案

x = 3.027

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