统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：52, 18, 51, 13, 59, 16。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值高于 100 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 20x = 100

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.3, 0.1, 0.3

σ =

4.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.7k = 5

P =

5.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 198.7 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5> 198.7 g

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 118，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 6x̄ = 118s = 1590%t(5) = 2.015

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 10E = 499%

n =

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 20。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 45.48。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。

μ₀ = 50σ = 20n = 100x̄ = 45.48H₁: μ < μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 38 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 76 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 76n₂ = 200

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 260Σx² = 55Σy² = 13722Σxy = 824

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 47？

n = 5ŷ = 47

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 21.24

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 209/6 = 34.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 17.17² + (−16.83)² + 16.17² + (−21.83)² + 24.17² + (−18.83)² = 2255

标准差

s = √(2255/5) = 21.24

答案

s = 21.24

2.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

答案

P = 0.06681

3.概率

答案: σ = 2.4

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 2·0.3 + 4·0.1 + 6·0.3 = 2.8

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 4·0.3 + 16·0.1 + 36·0.3 = 13.6

方差

Var(X) = 13.6 − 2.8² = 5.76

σ = √5.76 = 2.4

答案

σ = 2.4

4.概率

答案: P = 0.3025

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 5) = 6·0.7⁵·0.3¹ = 6·0.1681·0.3 = 0.3025

答案

P = 0.3025

5.正态分布

答案: P = 0.6844

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 g, σ_T = 1.2·√5 = 2.683 g

标准化

z = (198.7 − 200)/2.683 = −0.48

概率

P = 1 − Φ(−0.48) = 0.6844

答案

P = 0.6844

6.正态分布

答案: x = 466.3 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

答案

x = 466.34 h

7.置信区间

答案: 下限 = 105.7

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 2.015

误差范围

E = 2.015·15/√6 = 12.34

区间

118 ± 12.34 → [105.7, 130.3]

答案

下限 = 105.7

8.置信区间

答案: n = 42

解出 n

n = (2.576·10/4)² = 41.47

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 42

答案

n = 42

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.01191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (45.48 − 50)/2 = −2.26

尾部面积

Φ(2.26) = 0.9881

1 − Φ(2.26) = 0.0119

p 值

p = 0.01191

答案

p = 0.01191

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: z = −2.502

样本比例

p̂₁ = 38/150 = 0.2533

p̂₂ = 76/200 = 0.38

p̂ = 114/350 = 0.3257

H₀ 下的标准误

SE = √(0.3257·0.6743·(1/150 + 1/200)) = 0.05062

检验统计量

z = (0.2533 − 0.38)/0.05062 = −2.502

答案

z = −2.502

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r = 0.979

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 824 − 15·260/5 = 44

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 13722 − 260²/5 = 202

答案

r = 0.979

12.线性回归与相关

答案: x = 2.55

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 264/5 = 52.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

回归直线

b = 40/10 = 4

a = 52.8 − 4·4 = 36.8

ŷ = 36.8 + 4·x

解出 x

x = (47 − 36.8)/4 = 2.55

答案

x = 2.55

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