统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：53, 13, 36, 52, 57, 39, 48。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。求成绩 120 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 20x = 120

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.25

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.15, 0.15, 0.15Y = 10X + 5

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3745。求 z，保留两位小数。

A = 0.3745

z =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 10.5，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 20x̄ = 10.5s = 599%t(19) = 2.861

E =

8.置信区间困难

总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 21E = 595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 6。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 79.23。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ < 80。求 p 值 p。

μ₀ = 80σ = 6n = 144x̄ = 79.23H₁: μ < μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 82.3。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 82.3σ = 5n = 25α = 0.10

β = %

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 6x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 15.09

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 298/7 = 42.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 10.43² + (−29.57)² + (−6.571)² + 9.429² + 14.43² + (−3.571)² + 5.429² = 1366

标准差

s = √(1366/6) = 15.09

答案

s = 15.09

2.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (120 − 100)/20 = 1

答案

z = 1

3.概率

答案: σ = 2.234

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.25 + 2·0.2 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.1

平方的均值

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.2 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.6

方差

Var(X) = 14.6 − 3.1² = 4.99

σ = √4.99 = 2.234

答案

σ = 2.234

4.概率

答案: σ_Y = 14.65

X 的离散程度

μ = 1.55, Var(X) = 2.148, σ_X = 1.465

线性变换

σ_Y = |10|·1.465 = 14.65

答案

σ_Y = 14.65

均值确实会改变：E(Y) = 10·1.55 + 5 = 20.5。

5.正态分布

答案: z = 0.32

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3745 = 0.6255

反向查 z 表

在表中找到 0.6255，读出 z。

z = 0.32

答案

z = 0.32

6.正态分布

答案: x = 533.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

答案

x = 533.66 h

7.置信区间

答案: E = 3.199

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 2.861

误差范围

E = 2.861·5/√20 = 3.199

答案

E = 3.199

8.置信区间

答案: n = 68

解出 n

n = (1.96·21/5)² = 67.77

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 68

答案

n = 68

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.06178

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 6/√144 = 0.5

z = (79.23 − 80)/0.5 = −1.54

尾部面积

Φ(1.54) = 0.9382

1 − Φ(1.54) = 0.0618

p 值

p = 0.06178

答案

p = 0.06178

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: β = 15.43 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 80 + 1.282·1 = 81.28

真实均值下的 z

z = (81.28 − 82.3)/1 = −1.018

第二类错误

功效 = P(Z > −1.018) = 84.57%

β = 100% − 84.57% = 15.43%

答案

β = 15.43%

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9664

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 296/6 = 49.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 837.3

决定系数

r² = 238²/(70·837.3) = 0.9664

答案

r² = 0.9664

y 的变异中约有 96.64% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 47.53

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 326/6 = 54.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119

回归直线

b = 119/17.5 = 6.8

a = 54.33 − 6.8·4.5 = 23.73

ŷ = 23.73 + 6.8·x

预测

ŷ = 23.73 + 6.8·3.5 = 47.53

答案

ŷ = 47.53

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