正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 729 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 729 kg
P =
2.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
3.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 94，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 10x̄ = 94s = 1490%t(9) = 1.833
下限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 26E = 1.590%
n =
5.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −11.8，差值的标准差为 11.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = −11.8sd = 11.5
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 1.590%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 14)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 14)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，无缺陷”的期望频数 E。
行合计 = 63列合计 = 46N = 130
E =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1203 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
标准化
z = (729 − 765)/36 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
2.正态分布
答案: P = 0.9207
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41
概率
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
答案
P = 0.9207
3.置信区间
答案: 下限 = 85.88
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·14/√10 = 8.115
区间
94 ± 8.115 → [85.88, 102.1]
答案
下限 = 85.88
4.置信区间
答案: n = 814
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·26/1.5)² = 813
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 814
答案
n = 814
5.假设检验与置信区间
答案: t = −3.7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 11.5/√13 = 3.19
检验统计量
t = −11.8/3.19 = −3.7
答案
t = −3.7
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 174
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·12/1.5)² = 173.2
向上取整
n = 174
答案
n = 174
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9794
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 106/5 = 21.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Syy = Σ(y − ȳ)² = 286.8
决定系数
r² = 106²/(40·286.8) = 0.9794
答案
r² = 0.9794
y 的变异中约有 97.94% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: e = −3.333
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 104/6 = 17.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
回归直线
b = −31/17.5 = −1.771
a = 17.33 − (−1.771)·3.5 = 23.53
ŷ = 23.53 − 1.771·x
预测值
ŷ = 23.53 + (−1.771)·3.5 = 17.33
残差
e = 14 − 17.33 = −3.333
答案
e = −3.333
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: E = 22.29
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 63·46/130 = 22.29
答案
E = 22.29
10.卡方检验
答案: χ² = 7.4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 20, 20
31–50 岁: 20, 20
51 岁及以上: 20, 20
卡方统计量
χ² = (13 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20 + (23 − 20)²/20 + (17 − 20)²/20 + (24 − 20)²/20 + (16 − 20)²/20
χ² = 7.4
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
7.4 < 9.210
答案
χ² = 7.4
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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