正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 196.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16> 196.8 kg
P =
2.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
3.置信区间中等
测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.9，标准差为 1.5。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 12d̄ = 9.9sd = 1.599%t(11) = 3.106
E = mmHg
4.置信区间困难
30 根机加工轴的直径样本标准差为 2.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。
n = 30s = 2.8 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 204.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 204.8s = 12n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 193.25。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 193.25σ = 15n = 36α = 0.01
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 25)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3.5, 25)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2002 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.06681
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 192 kg, σT = 0.8·√16 = 3.2 kg
标准化
z = (196.8 − 192)/3.2 = 1.5
概率
P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681
答案
P = 0.06681
2.正态分布
答案: x = 245.8 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g
答案
x = 245.79 g
3.置信区间
答案: E = 1.345 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 11, t = 3.106
误差范围
E = 3.106·1.5/√12 = 1.345
答案
E = 1.345 mmHg
4.置信区间
答案: σ = 2.23 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 29·2.8² = 227.4
σ² 的限值
227.4/45.722 = 4.973
227.4/16.047 = 14.17
σ 的限值
σ = √4.973 = 2.23 µm
答案
σ = 2.23 µm
σ 的 95% 区间：[2.23, 3.764] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
检验统计量
t = (204.8 − 200)/2 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 35.42 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 200 − 2.326·2.5 = 194.2
真实均值下的 z
z = (194.2 − 193.25)/2.5 = 0.374
第二类错误
功效 = P(Z < 0.374) = 64.58%
β = 100% − 64.58% = 35.42%
答案
β = 35.42%
7.线性回归与相关
答案: r = −0.866
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12
Syy = Σ(y − ȳ)² = 19.2
相关系数
r = −12/√(10·19.2) = −0.866
答案
r = −0.866
8.线性回归与相关
答案: e = 5.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
回归直线
b = −21/10 = −2.1
a = 20.6 − (−2.1)·3 = 26.9
ŷ = 26.9 − 2.1·x
预测值
ŷ = 26.9 + (−2.1)·3.5 = 19.55
残差
e = 25 − 19.55 = 5.45
答案
e = 5.45
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 10.08
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 120·100/200 = 60, 120·100/200 = 60
安慰剂: 80·100/200 = 40, 80·100/200 = 40
卡方统计量
χ² = (71 − 60)²/60 + (49 − 60)²/60 + (29 − 40)²/40 + (51 − 40)²/40
χ² = 10.08
答案
χ² = 10.08
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 11.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
答案
χ²crit = 11.070
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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