统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 465.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 465.9 kg

P =

2.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

3.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 2.3。如果同一研究改用 225 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 25E₁ = 2.3n₂ = 225

E₂ =

4.置信区间困难

总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 9E = 0.599%

n =

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 87 mm，该生产线的已知标准差为 19 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 94.9 mm，已知标准差为 17 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 87 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 80x̄₂ = 94.9 mmσ₂ = 17 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 100.2。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 100.2σ = 12n = 6490%

L =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 91？

n = 5ŷ = 91

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，汽车”的期望频数 E。

行合计 = 97列合计 = 54N = 199

E =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29.39 kg

标准化

z = (465.9 − 510)/29.39 = −1.5

概率

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

答案

P = 0.9332

2.正态分布

答案: x = 527 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 500 + 0.67·40 = 527 h

答案

x = 527 h

3.置信区间

答案: E₂ = 0.7667

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(25/225) = 0.3333

新的误差范围

E₂ = 2.3·0.3333 = 0.7667

答案

E₂ = 0.7667

4.置信区间

答案: n = 2150

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·9/0.5)² = 2150

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 2150

答案

n = 2150

5.假设检验与置信区间

答案: z = −1.997

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(19²/30 + 17²/80) = √15.65 = 3.955

检验统计量

z = (87 − 94.9)/3.955 = −1.997

答案

z = −1.997

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: L = 97.73

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·12/√64 = 2.468

区间端点

L = 100.2 − 2.468 = 97.73

答案

L = 97.73

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.9135

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 173/5 = 34.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 105.2

决定系数

r² = 31²/(10·105.2) = 0.9135

答案

r² = 0.9135

y 的变异中约有 91.35% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: x = 22.52

均值

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 491/5 = 98.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 438

回归直线

b = 438/90 = 4.867

a = 98.2 − 4.867·24 = −18.6

ŷ = −18.6 + 4.867·x

解出 x

x = (91 − (−18.6))/4.867 = 22.52

答案

x = 22.52

9.卡方检验

答案: E = 26.32

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 97·54/199 = 26.32

答案

E = 26.32

10.卡方检验

答案: χ² = 9.885

期望频数

18–30 岁: 32, 48

31–50 岁: 32, 48

51 岁及以上: 40, 60

卡方统计量

χ² = (43 − 32)²/32 + (37 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48 + (31 − 40)²/40 + (69 − 60)²/60

χ² = 9.885

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

9.885 > 9.210

答案

χ² = 9.885

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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