统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8584。求 z，保留两位小数。

A = 0.8584

z =

2.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

3.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 20，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 13x̄ = 20s = 1699%t(12) = 3.055

下限 =

4.置信区间困难

总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 18E = 2.595%

n =

5.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 76.92，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 76.92s = 8n = 100

t =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 165 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 49 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 49n₂ = 80

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 5x = 9

ŷ =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1002 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

对一个 3 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。该检验的自由度 df 是多少？

3 × 3

df =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 1.47

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8584)/2 = 0.9292

反向查 z 表

在表中找到 0.9292，读出 z。

z = 1.47

答案

z = 1.47

2.正态分布

答案: x = 189.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm

答案

x = 189.5 cm

3.置信区间

答案: 下限 = 6.443

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·16/√13 = 13.56

区间

20 ± 13.56 → [6.443, 33.56]

答案

下限 = 6.443

4.置信区间

答案: n = 200

解出 n

n = (1.96·18/2.5)² = 199.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 200

答案

n = 200

5.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

检验统计量

t = (76.92 − 75)/0.8 = 2.4

答案

t = 2.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.001

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 165/300 = 0.55

p̂₂ = 49/80 = 0.6125

p̂ = 214/380 = 0.5632

H₀ 下的标准误

SE = √(0.5632·0.4368·(1/300 + 1/80)) = 0.06241

检验统计量

z = (0.55 − 0.6125)/0.06241 = −1.001

答案

z = −1.001

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.9915

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 105/6 = 17.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 205

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 605.5

决定系数

r² = 205²/(70·605.5) = 0.9915

答案

r² = 0.9915

y 的变异中约有 99.15% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: ŷ = 38.45

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 130/5 = 26

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

回归直线

b = 166/40 = 4.15

a = 26 − 4.15·6 = 1.1

ŷ = 1.1 + 4.15·x

预测

ŷ = 1.1 + 4.15·9 = 38.45

答案

ŷ = 38.45

9.卡方检验

答案: χ² = 3.556

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 60·20/100 = 12, 60·30/100 = 18, 60·50/100 = 30

夜班: 40·20/100 = 8, 40·30/100 = 12, 40·50/100 = 20

卡方统计量

χ² = (12 − 12)²/12 + (22 − 18)²/18 + (26 − 30)²/30 + (8 − 8)²/8 + (8 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20

χ² = 3.556

答案

χ² = 3.556

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。

10.卡方检验

答案: df = 4

自由度

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

答案

df = 4

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