正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62 和 67.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 67.5
P =
2.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 20%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 123 h，已知标准差 17 h。型号 2：50 部手机，均值 129.5 h，已知标准差 15 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 40x̄₁ = 123 hσ₁ = 17 hn₂ = 50x̄₂ = 129.5 hσ₂ = 15 h95%
上限 = h
4.置信区间困难
总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 10E = 190%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 111.5，标准差 4。第 2 组：7 名学生，平均分 104.9，标准差 6.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 111.5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 104.9s₂ = 6.5
t =
6.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 497.8。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 497.8σ = 5n = 1695%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 6.5 时的 ŷ。
n = 6x = 6.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
对一个 2 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 4
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.2166
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (62 − 65)/10 = −0.3
z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−0.3) = 0.5987 − 0.3821 = 0.2166
答案
P = 0.2166
2.正态分布
答案: x = 87.38 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分
答案
x = 87.38 分
3.置信区间
答案: 上限 = 0.2114 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 123 − 129.5 = −6.5
标准误
SE = √(17²/40 + 15²/50) = 3.424
误差范围
E = 1.96·3.424 = 6.711
区间
−6.5 ± 6.711 → [−13.21, 0.2114]
答案
上限 = 0.2114 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
4.置信区间
答案: n = 271
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·10/1)² = 270.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 271
答案
n = 271
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·4² + 6·6.5²)/10 = 31.75
sp = 5.635
标准误
SE = 5.635·√(1/5 + 1/7) = 3.299
检验统计量
t = (111.5 − 104.9)/3.299 = 2
答案
t = 2
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 500.3
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√16 = 2.45
区间端点
U = 497.8 + 2.45 = 500.3
答案
U = 500.3
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9696
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 382/5 = 76.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1853
相关系数
r = 396/√(90·1853) = 0.9696
答案
r = 0.9696
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 74.96
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 417/6 = 69.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95.5
回归直线
b = 95.5/17.5 = 5.457
a = 69.5 − 5.457·5.5 = 39.49
ŷ = 39.49 + 5.457·x
预测
ŷ = 39.49 + 5.457·6.5 = 74.96
答案
ŷ = 74.96
9.卡方检验
答案: χ² = 2.051
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 80·49/140 = 28, 80·91/140 = 52
女性: 60·49/140 = 21, 60·91/140 = 39
卡方统计量
χ² = (24 − 28)²/28 + (56 − 52)²/52 + (25 − 21)²/21 + (35 − 39)²/39
χ² = 2.051
答案
χ² = 2.051
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 3
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
答案
df = 3
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