正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 1384 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1384 kg
P =
2.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分10%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 101.5，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 7x̄ = 101.5s = 16.595%t(6) = 2.447
下限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 21E = 495%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 85.5，标准差 7.5。第 2 组：23 名学生，平均分 81.7，标准差 11。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 85.5s₁ = 7.5n₂ = 23x̄₂ = 81.7s₂ = 11
t =
6.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 69.8。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 69.8σ = 20n = 10099%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 121Σx² = 364Σy² = 2911Σxy = 1028
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 11)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(7, 11)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，低”的期望频数 E。
行合计 = 51列合计 = 41N = 119
E =
10.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
标准化
z = (1384 − 1360)/48 = 0.5
概率
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
答案
P = 0.3085
2.正态分布
答案: x = 52.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 65 − 1.28·10 = 52.2 分
答案
x = 52.2 分
3.置信区间
答案: 下限 = 86.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·16.5/√7 = 15.26
区间
101.5 ± 15.26 → [86.24, 116.8]
答案
下限 = 86.24
4.置信区间
答案: n = 106
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·21/4)² = 105.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 106
答案
n = 106
5.假设检验与置信区间
答案: t = 0.9019
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (7·7.5² + 22·11²)/29 = 105.4
sp = 10.27
标准误
SE = 10.27·√(1/8 + 1/23) = 4.213
检验统计量
t = (85.5 − 81.7)/4.213 = 0.9019
答案
t = 0.9019
df = 29 时，双侧 5% 的临界值为 2.045；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 74.95
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·20/√100 = 5.152
区间端点
U = 69.8 + 5.152 = 74.95
答案
U = 74.95
7.线性回归与相关
答案: r = 0.997
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1028 − 42·121/6 = 181
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2911 − 121²/6 = 470.8
相关系数
r = 181/√(70·470.8) = 0.997
答案
r = 0.997
8.线性回归与相关
答案: e = −3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
回归直线
b = 72/40 = 1.8
a = 12.2 − 1.8·6 = 1.4
ŷ = 1.4 + 1.8·x
预测值
ŷ = 1.4 + 1.8·7 = 14
残差
e = 11 − 14 = −3
答案
e = −3
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: E = 17.57
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 51·41/119 = 17.57
答案
E = 17.57
10.卡方检验
答案: χ²crit = 12.59
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答案
χ²crit = 12.592
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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