正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 454 和 548 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 548
P =
2.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分80%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 97，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 97s = 1295%t(20) = 2.086
E =
4.置信区间困难
总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 32E = 295%
n =
5.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 494.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 494.2s = 15n = 64
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 4。实际上均值为 201.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 201.5σ = 4n = 64α = 0.10
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 110Σx² = 364Σy² = 2418Σxy = 936
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 102)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(9, 102)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 11
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.7599
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15
z₂ = (548 − 500)/40 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.15) = 0.8849 − 0.1251 = 0.7599
答案
P = 0.7599
2.正态分布
答案: x = 112.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.8
由表得到的 z
z ≈ 0.84
回到原来的单位
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分
答案
x = 112.6 分
3.置信区间
答案: E = 5.462
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·12/√21 = 5.462
答案
E = 5.462
4.置信区间
答案: n = 984
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·32/2)² = 983.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 984
答案
n = 984
5.假设检验与置信区间
答案: t = −3.093
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
检验统计量
t = (494.2 − 500)/1.875 = −3.093
答案
t = −3.093
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 95.71 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 200 + 1.282·0.5 = 200.6
真实均值下的 z
z = (200.6 − 201.5)/0.5 = −1.718
功率
功效 = P(Z > −1.718) = 95.71%
1 − β = 95.71%
答案
1 − β = 95.71%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9904
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 936 − 42·110/6 = 166
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2418 − 110²/6 = 401.3
相关系数
r = 166/√(70·401.3) = 0.9904
答案
r = 0.9904
8.线性回归与相关
答案: e = −1.85
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 412/5 = 82.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286
回归直线
b = 286/40 = 7.15
a = 82.4 − 7.15·6 = 39.5
ŷ = 39.5 + 7.15·x
预测值
ŷ = 39.5 + 7.15·9 = 103.9
残差
e = 102 − 103.9 = −1.85
答案
e = −1.85
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 0.7111
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·32/160 = 8, 40·48/160 = 12, 40·80/160 = 20
夜班: 120·32/160 = 24, 120·48/160 = 36, 120·80/160 = 60
卡方统计量
χ² = (8 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (18 − 20)²/20 + (24 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (62 − 60)²/60
χ² = 0.7111
答案
χ² = 0.7111
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
答案
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference