正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6372。求 z，保留两位小数。
A = 0.6372
z =
2.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 30，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 30s = 1595%t(8) = 2.306
下限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 20E = 495%
n =
5.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 119 mm，该生产线的已知标准差为 7 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 117.8 mm，已知标准差为 12 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 40x̄₁ = 119 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 117.8 mmσ₂ = 12 mm
z =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 97.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 97.3σ = 12n = 64α = 0.10
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 123Σx² = 91Σy² = 2579Σxy = 401
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 12？
n = 6ŷ = 12
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1403 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 0.91
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6372)/2 = 0.8186
反向查 z 表
在表中找到 0.8186，读出 z。
z = 0.91
答案
z = 0.91
2.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
3.置信区间
答案: 下限 = 18.47
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·15/√9 = 11.53
区间
30 ± 11.53 → [18.47, 41.53]
答案
下限 = 18.47
4.置信区间
答案: n = 97
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·20/4)² = 96.04
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 97
答案
n = 97
5.假设检验与置信区间
答案: z = 0.5923
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(7²/40 + 12²/50) = √4.105 = 2.026
检验统计量
z = (119 − 117.8)/2.026 = 0.5923
答案
z = 0.5923
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 69.78 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 100 − 1.282·1.5 = 98.08
真实均值下的 z
z = (98.08 − 97.3)/1.5 = 0.518
功率
功效 = P(Z < 0.518) = 69.78%
1 − β = 69.78%
答案
1 − β = 69.78%
7.线性回归与相关
答案: r = −0.93
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 401 − 21·123/6 = −29.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2579 − 123²/6 = 57.5
相关系数
r = −29.5/√(17.5·57.5) = −0.93
答案
r = −0.93
8.线性回归与相关
答案: x = 4.491
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 90/6 = 15
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53
回归直线
b = −53/17.5 = −3.029
a = 15 − (−3.029)·3.5 = 25.6
ŷ = 25.6 − 3.029·x
解出 x
x = (12 − 25.6)/(−3.029) = 4.491
答案
x = 4.491
9.卡方检验
答案: χ² = 9.377
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·104/160 = 26, 40·56/160 = 14
不吸烟者: 120·104/160 = 78, 120·56/160 = 42
卡方统计量
χ² = (18 − 26)²/26 + (22 − 14)²/14 + (86 − 78)²/78 + (34 − 42)²/42
χ² = 9.377
答案
χ² = 9.377
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 4.167
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 20, 20
生产线 2: 30, 30
生产线 3: 20, 20
卡方统计量
χ² = (16 − 20)²/20 + (24 − 20)²/20 + (29 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (25 − 20)²/20 + (15 − 20)²/20
χ² = 4.167
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
4.167 < 5.991
答案
χ² = 4.167
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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