正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 740.2 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740.2 g
P =
2.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 31，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 30x̄ = 31s = 1899%t(29) = 2.756
上限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 13E = 0.595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 97.24，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 97.24s = 8n = 81
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 53 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 56 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 56n₂ = 120
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 6x = 5.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 5
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (740.2 − 750)/9.849 = −1
上尾
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
2.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.置信区间
答案: 上限 = 40.06
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.756
误差范围
E = 2.756·18/√30 = 9.057
区间
31 ± 9.057 → [21.94, 40.06]
答案
上限 = 40.06
4.置信区间
答案: n = 2597
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·13/0.5)² = 2597
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2597
答案
n = 2597
5.假设检验与置信区间
答案: t = −3.105
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
检验统计量
t = (97.24 − 100)/0.8889 = −3.105
答案
t = −3.105
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −1.886
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 53/150 = 0.3533
p̂₂ = 56/120 = 0.4667
p̂ = 109/270 = 0.4037
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4037·0.5963·(1/150 + 1/120)) = 0.06009
检验统计量
z = (0.3533 − 0.4667)/0.06009 = −1.886
答案
z = −1.886
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9911
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 102/5 = 20.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Syy = Σ(y − ȳ)² = 513.2
相关系数
r = 142/√(40·513.2) = 0.9911
答案
r = 0.9911
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 18.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39.5
回归直线
b = −39.5/17.5 = −2.257
a = 23.17 − (−2.257)·3.5 = 31.07
ŷ = 31.07 − 2.257·x
预测
ŷ = 31.07 + (−2.257)·5.5 = 18.65
答案
ŷ = 18.65
9.卡方检验
答案: χ² = 9.892
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 60·24/120 = 12, 60·54/120 = 27, 60·42/120 = 21
农村: 60·24/120 = 12, 60·54/120 = 27, 60·42/120 = 21
卡方统计量
χ² = (11 − 12)²/12 + (20 − 27)²/27 + (29 − 21)²/21 + (13 − 12)²/12 + (34 − 27)²/27 + (13 − 21)²/21
χ² = 9.892
答案
χ² = 9.892
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 3
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
答案
df = 3
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