正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.5 和 256 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.5x2 = 256
P =
2.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分30%
x = 分
3.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 5.1。 如果同一研究改用 200 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 50E₁ = 5.1n₂ = 200
E₂ =
4.置信区间困难
16 根机加工轴的直径样本标准差为 9.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。
n = 16s = 9.8 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 101.4，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.4s = 4n = 49
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 7.5。实际上均值为 97.6。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 97.6σ = 7.5n = 25α = 0.01
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 6x = 5.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8181
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5
z₂ = (256 − 250)/5 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.5) = 0.8849 − 0.06681 = 0.8181
答案
P = 0.8181
2.正态分布
答案: x = 70.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分
答案
x = 70.2 分
3.置信区间
答案: E₂ = 2.55
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/200) = 0.5
新的误差范围
E₂ = 5.1·0.5 = 2.55
答案
E₂ = 2.55
4.置信区间
答案: σ = 7.239 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 15·9.8² = 1441
σ² 的限值
1441/27.488 = 52.41
1441/6.262 = 230.1
σ 的限值
σ = √52.41 = 7.239 µm
答案
σ = 7.239 µm
σ 的 95% 区间：[7.239, 15.17] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.45
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
检验统计量
t = (101.4 − 100)/0.5714 = 2.45
答案
t = 2.45
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 23.39 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 100 − 2.326·1.5 = 96.51
真实均值下的 z
z = (96.51 − 97.6)/1.5 = −0.726
功率
功效 = P(Z < −0.726) = 23.39%
1 − β = 23.39%
答案
1 − β = 23.39%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9806
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 509/6 = 84.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 738.8
相关系数
r = 111.5/√(17.5·738.8) = 0.9806
答案
r = 0.9806
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 9.486
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 96/6 = 16
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57
回归直线
b = −57/17.5 = −3.257
a = 16 − (−3.257)·3.5 = 27.4
ŷ = 27.4 − 3.257·x
预测
ŷ = 27.4 + (−3.257)·5.5 = 9.486
答案
ŷ = 9.486
9.卡方检验
答案: χ² = 12.96
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30
不吸烟者: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24
卡方统计量
χ² = (59 − 70)²/70 + (41 − 30)²/30 + (67 − 56)²/56 + (13 − 24)²/24
χ² = 12.96
答案
χ² = 12.96
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference