正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量低于 101 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4< 101 kg
P =
2.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 47.5 h，已知标准差 3 h。型号 2：80 部手机，均值 51 h，已知标准差 11 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 60x̄₁ = 47.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 51 hσ₂ = 11 h99%
下限 = h
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：17 块地，平均产量 97.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 94 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 17x̄₁ = 97.5s₁ = 4.5n₂ = 5x̄₂ = 94s₂ = 4.590%t(20) = 1.725
上限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 118.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 118.4s = 8n = 81
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 20。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 4σ = 20zα = 1.645zβ = 0.842
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 60)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(4.5, 60)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，无缺陷”的期望频数 E。
行合计 = 33列合计 = 30N = 87
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 100 kg, σT = 0.5·√4 = 1 kg
标准化
z = (101 − 100)/1 = 1
概率
P = Φ(1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
2.正态分布
答案: x = 551.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答案
x = 551.26 h
3.置信区间
答案: 下限 = −6.821 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 47.5 − 51 = −3.5
标准误
SE = √(3²/60 + 11²/80) = 1.289
误差范围
E = 2.576·1.289 = 3.321
区间
−3.5 ± 3.321 → [−6.821, −0.1786]
答案
下限 = −6.821 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: 上限 = 7.449 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (16·4.5² + 4·4.5²)/20 = 20.25
sp = 4.5
误差范围
E = 1.725·4.5·√(1/17 + 1/5) = 3.949
区间
3.5 ± 3.949 → [−0.4491, 7.449]
答案
上限 = 7.449 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
检验统计量
t = (118.4 − 120)/0.8889 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 155
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·20/4)² = 154.6
向上取整
n = 155
答案
n = 155
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.967
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 458/5 = 91.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1539
决定系数
r² = 244²/(40·1539) = 0.967
答案
r² = 0.967
y 的变异中约有 96.7% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: e = 2.75
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 257/5 = 51.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
回归直线
b = 39/10 = 3.9
a = 51.4 − 3.9·3 = 39.7
ŷ = 39.7 + 3.9·x
预测值
ŷ = 39.7 + 3.9·4.5 = 57.25
残差
e = 60 − 57.25 = 2.75
答案
e = 2.75
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: E = 11.38
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 33·30/87 = 11.38
答案
E = 11.38
10.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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