统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9875。求 z，保留两位小数。

A = 0.9875

z =

2.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3.置信区间中等

测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 6.4，标准差为 4.6。求平均差值的 99% 置信区间的上限。

n = 13d̄ = 6.4s_d = 4.699%t(12) = 3.055

上限 = mmHg

4.置信区间困难

20 根机加工轴的直径样本标准差为 2.9 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 19 时，χ² 分布有 2.5% 位于 8.907 以下，2.5% 位于 32.852 以上。

n = 20s = 2.9 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 143.5 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 151.4 mm，已知标准差为 20 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 143.5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 151.4 mmσ₂ = 20 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 100 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 44 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 44n₂ = 100

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 105Σy = 477Σx² = 2245Σy² = 46805Σxy = 10241

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 20？

n = 5ŷ = 20

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，自行车”的期望频数 E。

行合计 = 94列合计 = 36N = 156

E =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: z = −2.24

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9875 = 0.0125

反向查 z 表

在表中找到 0.0125，读出 z。

z = −2.24

答案

z = −2.24

2.正态分布

答案: x = 565.8 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

答案

x = 565.8 h

3.置信区间

答案: 上限 = 10.3 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·4.6/√13 = 3.898

区间

6.4 ± 3.898 → [2.502, 10.3]

答案

上限 = 10.3 mmHg

4.置信区间

答案: σ = 4.236 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 19·2.9² = 159.8

σ² 的限值

159.8/32.852 = 4.864

159.8/8.907 = 17.94

σ 的限值

σ = √17.94 = 4.236 µm

答案

σ = 4.236 µm

σ 的 95% 区间：[2.205, 4.236] µm。

5.假设检验与置信区间

答案: z = −2.793

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(20²/100 + 20²/100) = √8 = 2.828

检验统计量

z = (143.5 − 151.4)/2.828 = −2.793

答案

z = −2.793

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −0.687

样本比例

p̂₁ = 100/250 = 0.4

p̂₂ = 44/100 = 0.44

p̂ = 144/350 = 0.4114

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4114·0.5886·(1/250 + 1/100)) = 0.05823

检验统计量

z = (0.4 − 0.44)/0.05823 = −0.687

答案

z = −0.687

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9826

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 10241 − 105·477/5 = 224

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 46805 − 477²/5 = 1299

答案

r = 0.9826

8.线性回归与相关

答案: x = 4.25

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8

回归直线

b = −8/10 = −0.8

a = 21 − (−0.8)·3 = 23.4

ŷ = 23.4 − 0.8·x

解出 x

x = (20 − 23.4)/(−0.8) = 4.25

答案

x = 4.25

9.卡方检验

答案: E = 21.69

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 94·36/156 = 21.69

答案

E = 21.69

10.卡方检验

答案: χ² = 25.29

期望频数

18–30 岁: 40, 40

31–50 岁: 30, 30

51 岁及以上: 50, 50

卡方统计量

χ² = (27 − 40)²/40 + (53 − 40)²/40 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (69 − 50)²/50 + (31 − 50)²/50

χ² = 25.29

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

25.29 > 5.991

答案

χ² = 25.29

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference