正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9615。求 z，保留两位小数。
A = 0.9615
z =
2.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
3.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 25，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 9x̄ = 25s = 5.590%t(8) = 1.86
E =
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 34 kg，标准差 5 kg。地块组 2：5 块地，均值 36 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 7x̄₁ = 34s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 36s₂ = 899%t(10) = 3.169
下限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 504.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 504.3s = 15n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 5。求最小样本量 n。
σ = 5E = 0.595%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 5ŷ = 17
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 2.07
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9615)/2 = 0.9808
反向查 z 表
在表中找到 0.9808，读出 z。
z = 2.07
答案
z = 2.07
2.正态分布
答案: x = 565.8 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h
答案
x = 565.8 h
3.置信区间
答案: E = 3.41
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 1.86
误差范围
E = 1.86·5.5/√9 = 3.41
答案
E = 3.41
4.置信区间
答案: 下限 = −13.82 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·5² + 4·8²)/10 = 40.6
sp = 6.372
误差范围
E = 3.169·6.372·√(1/7 + 1/5) = 11.82
区间
−2 ± 11.82 → [−13.82, 9.823]
答案
下限 = −13.82 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.72
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (504.3 − 500)/2.5 = 1.72
答案
t = 1.72
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 385
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·5/0.5)² = 384.2
向上取整
n = 385
答案
n = 385
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9871
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 348/5 = 69.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Syy = Σ(y − ȳ)² = 681.2
决定系数
r² = 164²/(40·681.2) = 0.9871
答案
r² = 0.9871
y 的变异中约有 98.71% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 3.522
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
回归直线
b = −23/10 = −2.3
a = 18.2 − (−2.3)·3 = 25.1
ŷ = 25.1 − 2.3·x
解出 x
x = (17 − 25.1)/(−2.3) = 3.522
答案
x = 3.522
9.卡方检验
答案: χ² = 4.425
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45
农村: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36
卡方统计量
χ² = (20 − 15)²/15 + (38 − 40)²/40 + (42 − 45)²/45 + (7 − 12)²/12 + (34 − 32)²/32 + (39 − 36)²/36
χ² = 4.425
答案
χ² = 4.425
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 2.5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 16, 24
31–50 岁: 32, 48
51 岁及以上: 32, 48
卡方统计量
χ² = (12 − 16)²/16 + (28 − 24)²/24 + (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48 + (32 − 32)²/32 + (48 − 48)²/48
χ² = 2.5
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
2.5 < 5.991
答案
χ² = 2.5
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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