正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 100 和 115 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 115
P =
2.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 95%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 46.5，标准差 s = 9。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 7x̄ = 46.5s = 990%t(6) = 1.943
下限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 10E = 0.599%
n =
5.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 77.32，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 77.32s = 4n = 25
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 399%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 66？
n = 6ŷ = 66
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.3413
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(0) = 0.8413 − 0.5 = 0.3413
答案
P = 0.3413
2.正态分布
答案: x = 124.7 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分
答案
x = 124.67 分
3.置信区间
答案: 下限 = 39.89
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 1.943
误差范围
E = 1.943·9/√7 = 6.609
区间
46.5 ± 6.609 → [39.89, 53.11]
答案
下限 = 39.89
4.置信区间
答案: n = 2655
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·10/0.5)² = 2654
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2655
答案
n = 2655
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
检验统计量
t = (77.32 − 75)/0.8 = 2.9
答案
t = 2.9
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 74
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·10/3)² = 73.73
向上取整
n = 74
答案
n = 74
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9954
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 87/5 = 17.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 241.2
决定系数
r² = 98²/(40·241.2) = 0.9954
答案
r² = 0.9954
y 的变异中约有 99.54% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 5.496
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 368/6 = 61.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
回归直线
b = 82/17.5 = 4.686
a = 61.33 − 4.686·4.5 = 40.25
ŷ = 40.25 + 4.686·x
解出 x
x = (66 − 40.25)/4.686 = 5.496
答案
x = 5.496
9.卡方检验
答案: χ² = 9.531
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 100·40/160 = 25, 100·56/160 = 35, 100·64/160 = 40
教职工: 60·40/160 = 15, 60·56/160 = 21, 60·64/160 = 24
卡方统计量
χ² = (17 − 25)²/25 + (37 − 35)²/35 + (46 − 40)²/40 + (23 − 15)²/15 + (19 − 21)²/21 + (18 − 24)²/24
χ² = 9.531
答案
χ² = 9.531
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 7.031
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 48, 32
31–50 岁: 48, 32
51 岁及以上: 24, 16
卡方统计量
χ² = (54 − 48)²/48 + (26 − 32)²/32 + (39 − 48)²/48 + (41 − 32)²/32 + (27 − 24)²/24 + (13 − 16)²/16
χ² = 7.031
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
7.031 > 5.991
答案
χ² = 7.031
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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