正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 245 和 259 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 259
P =
2.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 20% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分20%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 140.5 h，已知标准差 11 h。型号 2：40 部手机，均值 131.5 h，已知标准差 4 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 140.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 131.5 hσ₂ = 4 h95%
E = h
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：16 块地，平均产量 13 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 4 kg，标准差 3 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 16x̄₁ = 13s₁ = 1.5n₂ = 5x̄₂ = 4s₂ = 399%t(19) = 2.861
下限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 202，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 202s = 12n = 100
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 502.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 502.5σ = 15n = 36α = 0.05
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 26？
n = 5ŷ = 26
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8054
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1) = 0.9641 − 0.1587 = 0.8054
答案
P = 0.8054
2.正态分布
答案: x = 112.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.8
由表得到的 z
z ≈ 0.84
回到原来的单位
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分
答案
x = 112.6 分
3.置信区间
答案: E = 2.711 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 140.5 − 131.5 = 9
标准误
SE = √(11²/80 + 4²/40) = 1.383
误差范围
E = 1.96·1.383 = 2.711
答案
E = 2.711 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: 下限 = 6.191 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (15·1.5² + 4·3²)/19 = 3.671
sp = 1.916
误差范围
E = 2.861·1.916·√(1/16 + 1/5) = 2.809
区间
9 ± 2.809 → [6.191, 11.81]
答案
下限 = 6.191 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.667
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2
检验统计量
t = (202 − 200)/1.2 = 1.667
答案
t = 1.667
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 25.95 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 500 + 1.645·2.5 = 504.1
真实均值下的 z
z = (504.1 − 502.5)/2.5 = 0.645
功率
功效 = P(Z > 0.645) = 25.95%
1 − β = 25.95%
答案
1 − β = 25.95%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9872
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 102/5 = 20.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 357.2
相关系数
r = 118/√(40·357.2) = 0.9872
答案
r = 0.9872
8.线性回归与相关
答案: x = 6.958
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 113/5 = 22.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
回归直线
b = 142/40 = 3.55
a = 22.6 − 3.55·6 = 1.3
ŷ = 1.3 + 3.55·x
解出 x
x = (26 − 1.3)/3.55 = 6.958
答案
x = 6.958
9.卡方检验
答案: χ² = 9.72
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 100·36/180 = 20, 100·54/180 = 30, 100·90/180 = 50
农村: 80·36/180 = 16, 80·54/180 = 24, 80·90/180 = 40
卡方统计量
χ² = (20 − 20)²/20 + (39 − 30)²/30 + (41 − 50)²/50 + (16 − 16)²/16 + (15 − 24)²/24 + (49 − 40)²/40
χ² = 9.72
答案
χ² = 9.72
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 10.78
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 30, 30
工厂 B: 30, 30
工厂 C: 40, 40
卡方统计量
χ² = (40 − 30)²/30 + (20 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (31 − 40)²/40 + (49 − 40)²/40
χ² = 10.78
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
10.78 > 5.991
答案
χ² = 10.78
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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