统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9328。求 z，保留两位小数。

A = 0.9328

z =

2.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 101 h，已知标准差 14 h。型号 2：40 部手机，均值 113 h，已知标准差 11 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 60x̄₁ = 101 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 113 hσ₂ = 11 h90%

上限 = h

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 34 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 35 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 7x̄₁ = 34s₁ = 1.5n₂ = 9x̄₂ = 35s₂ = 899%t(14) = 2.977

E = kg

5.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 4。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 100.61。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ ≠ 100。求 p 值 p。

μ₀ = 100σ = 4n = 64x̄ = 100.61H₁: μ ≠ μ₀

p =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 45 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 41 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 41n₂ = 80

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 91Σx² = 55Σy² = 1695Σxy = 254

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 40？

n = 6ŷ = 40

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1402 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 1.83

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9328)/2 = 0.9664

反向查 z 表

在表中找到 0.9664，读出 z。

z = 1.83

答案

z = 1.83

2.正态分布

答案: P = 0.8133

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

概率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答案

P = 0.8133

3.置信区间

答案: 上限 = −7.874 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 101 − 113 = −12

标准误

SE = √(14²/60 + 11²/40) = 2.508

误差范围

E = 1.645·2.508 = 4.126

区间

−12 ± 4.126 → [−16.13, −7.874]

答案

上限 = −7.874 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: E = 9.192 kg

合并标准差

s_p² = (6·1.5² + 8·8²)/14 = 37.54

s_p = 6.127

误差范围

E = 2.977·6.127·√(1/7 + 1/9) = 9.192

答案

E = 9.192 kg

5.假设检验与置信区间

答案: p = 0.2225

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 4/√64 = 0.5

z = (100.61 − 100)/0.5 = 1.22

尾部面积

Φ(1.22) = 0.8888

1 − Φ(1.22) = 0.1112

p 值

p = 2·0.1112 = 0.2225

答案

p = 0.2225

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −0.8342

样本比例

p̂₁ = 45/100 = 0.45

p̂₂ = 41/80 = 0.5125

p̂ = 86/180 = 0.4778

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4778·0.5222·(1/100 + 1/80)) = 0.07493

检验统计量

z = (0.45 − 0.5125)/0.07493 = −0.8342

答案

z = −0.8342

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = −0.9646

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 254 − 15·91/5 = −19

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1695 − 91²/5 = 38.8

答案

r = −0.9646

8.线性回归与相关

答案: x = 9.079

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 191/6 = 31.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275

回归直线

b = 275/70 = 3.929

a = 31.83 − 3.929·7 = 4.333

ŷ = 4.333 + 3.929·x

解出 x

x = (40 − 4.333)/3.929 = 9.079

答案

x = 9.079

9.卡方检验

答案: χ² = 0.5556

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42

女性: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56

卡方统计量

χ² = (16 − 18)²/18 + (44 − 42)²/42 + (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56

χ² = 0.5556

答案

χ² = 0.5556

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 24.32

期望频数

工厂 A: 60, 20

工厂 B: 60, 20

工厂 C: 75, 25

卡方统计量

χ² = (72 − 60)²/60 + (8 − 20)²/20 + (64 − 60)²/60 + (16 − 20)²/20 + (59 − 75)²/75 + (41 − 25)²/25

χ² = 24.32

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

24.32 > 5.991

答案

χ² = 24.32

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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