正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164.35 和 179.4 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 164.35x2 = 179.4
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 134 h，已知标准差 18 h。型号 2：60 部手机，均值 123 h，已知标准差 8 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 134 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 123 hσ₂ = 8 h95%
E = h
4.置信区间困难
总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 12E = 1.595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 102.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 102.9s = 8n = 64
t =
6.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 100.7。总体标准差为 5。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 100.7σ = 5n = 8190%
L =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 157Σx² = 364Σy² = 4959Σxy = 1342
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 13)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(5, 13)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.5537
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (164.35 − 178)/7 = −1.95
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−1.95) = 0.5793 − 0.02559 = 0.5537
答案
P = 0.5537
2.正态分布
答案: x = 170.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm
答案
x = 170.7 cm
3.置信区间
答案: E = 5.934 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 134 − 123 = 11
标准误
SE = √(18²/40 + 8²/60) = 3.028
误差范围
E = 1.96·3.028 = 5.934
答案
E = 5.934 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 246
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·12/1.5)² = 245.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 246
答案
n = 246
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
检验统计量
t = (102.9 − 100)/1 = 2.9
答案
t = 2.9
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: L = 99.79
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·5/√81 = 0.9139
区间端点
L = 100.7 − 0.9139 = 99.79
答案
L = 99.79
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9957
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1342 − 42·157/6 = 243
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4959 − 157²/6 = 850.8
相关系数
r = 243/√(70·850.8) = 0.9957
答案
r = 0.9957
8.线性回归与相关
答案: e = 2.3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
回归直线
b = 60/40 = 1.5
a = 12.2 − 1.5·6 = 3.2
ŷ = 3.2 + 1.5·x
预测值
ŷ = 3.2 + 1.5·5 = 10.7
残差
e = 13 − 10.7 = 2.3
答案
e = 2.3
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 5.496
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
教职工: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
卡方统计量
χ² = (7 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (21 − 16)²/16 + (13 − 10)²/10 + (16 − 14)²/14 + (11 − 16)²/16
χ² = 5.496
答案
χ² = 5.496
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
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