正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 237.1 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 237.1 g
P =
2.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 80%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 81.5 h，已知标准差 12 h。型号 2：60 部手机，均值 75.5 h，已知标准差 17 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 81.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 60x̄₂ = 75.5 hσ₂ = 17 h90%
E = h
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 92 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 81 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 7x̄₁ = 92s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 81s₂ = 5.590%t(12) = 1.782
上限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 507.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 507.2s = 15n = 25
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 204.95。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 204.95σ = 15n = 100α = 0.05
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 84列合计 = 39N = 159
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 240 g, σT = 1.2·√6 = 2.939 g
标准化
z = (237.1 − 240)/2.939 = −0.99
概率
P = 1 − Φ(−0.99) = 0.8389
答案
P = 0.8389
2.正态分布
答案: x = 112.6 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 分
答案
x = 112.62 分
3.置信区间
答案: E = 4.772 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 81.5 − 75.5 = 6
标准误
SE = √(12²/40 + 17²/60) = 2.901
误差范围
E = 1.645·2.901 = 4.772
答案
E = 4.772 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: 上限 = 15.07 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·2.5² + 6·5.5²)/12 = 18.25
sp = 4.272
误差范围
E = 1.782·4.272·√(1/7 + 1/7) = 4.069
区间
11 ± 4.069 → [6.931, 15.07]
答案
上限 = 15.07 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
检验统计量
t = (507.2 − 500)/3 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 4.896 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 200 + 1.645·1.5 = 202.5
真实均值下的 z
z = (202.5 − 204.95)/1.5 = −1.655
第二类错误
功效 = P(Z > −1.655) = 95.1%
β = 100% − 95.1% = 4.896%
答案
β = 4.896%
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9236
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 311/6 = 51.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 298.8
决定系数
r² = 69.5²/(17.5·298.8) = 0.9236
答案
r² = 0.9236
y 的变异中约有 92.36% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 54.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 285/5 = 57
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
回归直线
b = 57/10 = 5.7
a = 57 − 5.7·4 = 34.2
ŷ = 34.2 + 5.7·x
预测
ŷ = 34.2 + 5.7·3.5 = 54.15
答案
ŷ = 54.15
9.卡方检验
答案: E = 20.6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 84·39/159 = 20.6
答案
E = 20.6
10.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
答案
df = 6
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