正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 488 和 562 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 562
P =
2.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
3.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 116.5，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 116.5s = 14.599%t(20) = 2.845
下限 =
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.1 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.1E = 0.02595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 75.35，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 75.35s = 4n = 64
t =
6.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 71.5。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 71.5σ = 15n = 8190%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 115？
n = 5ŷ = 115
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 69列合计 = 69N = 173
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.5573
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (488 − 500)/40 = −0.3
z₂ = (562 − 500)/40 = 1.55
中间面积
P = Φ(1.55) − Φ(−0.3) = 0.9394 − 0.3821 = 0.5573
答案
P = 0.5573
2.正态分布
答案: x = 41.87 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min
答案
x = 41.87 min
3.置信区间
答案: 下限 = 107.5
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·14.5/√21 = 9.002
区间
116.5 ± 9.002 → [107.5, 125.5]
答案
下限 = 107.5
4.置信区间
答案: n = 554
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.1·0.9/0.025² = 553.2
向上取整
n = 554
答案
n = 554
5.假设检验与置信区间
答案: t = 0.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5
检验统计量
t = (75.35 − 75)/0.5 = 0.7
答案
t = 0.7
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 74.24
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·15/√81 = 2.742
区间端点
U = 71.5 + 2.742 = 74.24
答案
U = 74.24
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9895
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 445/5 = 89
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2118
相关系数
r = 288/√(40·2118) = 0.9895
答案
r = 0.9895
8.线性回归与相关
答案: x = 18.97
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 544/5 = 108.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256
回归直线
b = 256/40 = 6.4
a = 108.8 − 6.4·18 = −6.4
ŷ = −6.4 + 6.4·x
解出 x
x = (115 − (−6.4))/6.4 = 18.97
答案
x = 18.97
9.卡方检验
答案: E = 27.52
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 69·69/173 = 27.52
答案
E = 27.52
10.卡方检验
答案: χ²crit = 9.488
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
答案
χ²crit = 9.488
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference