正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164.35 和 181.5 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 164.35x2 = 181.5
P =
2.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
3.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 114，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 114s = 14.595%t(20) = 2.086
下限 =
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：21 块地，平均产量 47 kg，标准差 1 kg。地块组 2：10 块地，均值 36 kg，标准差 7 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 21x̄₁ = 47s₁ = 1n₂ = 10x̄₂ = 36s₂ = 795%t(29) = 2.045
E = kg
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 123，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 123s = 15n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 83。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 83σ = 10n = 25α = 0.05
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 21？
n = 6ŷ = 21
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 8 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.6659
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (164.35 − 178)/7 = −1.95
z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5
中间面积
P = Φ(0.5) − Φ(−1.95) = 0.6915 − 0.02559 = 0.6659
答案
P = 0.6659
2.正态分布
答案: x = 36.05 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min
答案
x = 36.05 min
3.置信区间
答案: 下限 = 107.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·14.5/√21 = 6.6
区间
114 ± 6.6 → [107.4, 120.6]
答案
下限 = 107.4
4.置信区间
答案: E = 3.133 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (20·1² + 9·7²)/29 = 15.9
sp = 3.987
误差范围
E = 2.045·3.987·√(1/21 + 1/10) = 3.133
答案
E = 3.133 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (123 − 120)/2.5 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 55.76 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 + 1.645·2 = 83.29
真实均值下的 z
z = (83.29 − 83)/2 = 0.145
第二类错误
功效 = P(Z > 0.145) = 44.24%
β = 100% − 44.24% = 55.76%
答案
β = 55.76%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9823
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 241/6 = 40.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227
Syy = Σ(y − ȳ)² = 762.8
相关系数
r = 227/√(70·762.8) = 0.9823
答案
r = 0.9823
8.线性回归与相关
答案: x = 2.471
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 114/6 = 19
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
回归直线
b = −34/17.5 = −1.943
a = 19 − (−1.943)·3.5 = 25.8
ŷ = 25.8 − 1.943·x
解出 x
x = (21 − 25.8)/(−1.943) = 2.471
答案
x = 2.471
9.卡方检验
答案: χ² = 1.286
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 60·40/160 = 15, 60·56/160 = 21, 60·64/160 = 24
夜班: 100·40/160 = 25, 100·56/160 = 35, 100·64/160 = 40
卡方统计量
χ² = (15 − 15)²/15 + (18 − 21)²/21 + (27 − 24)²/24 + (25 − 25)²/25 + (38 − 35)²/35 + (37 − 40)²/40
χ² = 1.286
答案
χ² = 1.286
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 = 7
答案
df = 7
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