统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 23.3 和 37.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 23.3x₂ = 37.1

P =

2.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 120.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：80 部手机，均值 124 h，已知标准差 13 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 60x̄₁ = 120.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 124 hσ₂ = 13 h90%

上限 = h

4.置信区间困难

25 根机加工轴的直径样本标准差为 5.3 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 5.3 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 68 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 70.1 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 68 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 80x̄₂ = 70.1 mmσ₂ = 5 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 40 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 31 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 31n₂ = 120

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 21Σy = 94Σx² = 91Σy² = 1560Σxy = 291

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 5x = 4.5

ŷ =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1002 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.7288

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−1.45) = 0.8023 − 0.07353 = 0.7288

答案

P = 0.7288

2.正态分布

答案: x = 256.4 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

答案

x = 256.4 g

3.置信区间

答案: 上限 = −0.7907 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 120.5 − 124 = −3.5

标准误

SE = √(6²/60 + 13²/80) = 1.647

误差范围

E = 1.645·1.647 = 2.709

区间

−3.5 ± 2.709 → [−6.209, −0.7907]

答案

上限 = −0.7907 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: σ = 7.373 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·5.3² = 674.2

σ² 的限值

674.2/39.364 = 17.13

674.2/12.401 = 54.36

σ 的限值

σ = √54.36 = 7.373 µm

答案

σ = 7.373 µm

σ 的 95% 区间：[4.138, 7.373] µm。

5.假设检验与置信区间

答案: z = −2.8

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(5²/100 + 5²/80) = √0.5625 = 0.75

检验统计量

z = (68 − 70.1)/0.75 = −2.8

答案

z = −2.8

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.216

样本比例

p̂₁ = 40/200 = 0.2

p̂₂ = 31/120 = 0.2583

p̂ = 71/320 = 0.2219

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2219·0.7781·(1/200 + 1/120)) = 0.04798

检验统计量

z = (0.2 − 0.2583)/0.04798 = −1.216

答案

z = −1.216

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = −0.972

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 291 − 21·94/6 = −38

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 1560 − 94²/6 = 87.33

答案

r = −0.972

8.线性回归与相关

答案: ŷ = 41.05

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 201/5 = 40.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 17

回归直线

b = 17/10 = 1.7

a = 40.2 − 1.7·4 = 33.4

ŷ = 33.4 + 1.7·x

预测

ŷ = 33.4 + 1.7·4.5 = 41.05

答案

ŷ = 41.05

9.卡方检验

答案: χ² = 11.14

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 60·25/100 = 15, 60·35/100 = 21, 60·40/100 = 24

夜班: 40·25/100 = 10, 40·35/100 = 14, 40·40/100 = 16

卡方统计量

χ² = (18 − 15)²/15 + (26 − 21)²/21 + (16 − 24)²/24 + (7 − 10)²/10 + (9 − 14)²/14 + (24 − 16)²/16

χ² = 11.14

答案

χ² = 11.14

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 90.7

期望频数

生产线 1: 75, 25

生产线 2: 75, 25

生产线 3: 45, 15

卡方统计量

χ² = (88 − 75)²/75 + (12 − 25)²/25 + (90 − 75)²/75 + (10 − 25)²/25 + (17 − 45)²/45 + (43 − 15)²/15

χ² = 90.7

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

90.7 > 5.991

答案

χ² = 90.7

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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