正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 251.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 10> 251.6 kg
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 134.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：40 部手机，均值 141 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 60x̄₁ = 134.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 141 hσ₂ = 13 h99%
下限 = h
4.置信区间困难
总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 26E = 490%
n =
5.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 203.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 203.2s = 15n = 100
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 18。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 2.5σ = 18zα = 1.645zβ = 1.282
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 60？
n = 5ŷ = 60
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.1562
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 250 kg, σT = 0.5·√10 = 1.581 kg
标准化
z = (251.6 − 250)/1.581 = 1.01
概率
P = 1 − Φ(1.01) = 0.1562
答案
P = 0.1562
2.正态分布
答案: x = 172.1 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm
答案
x = 172.11 cm
3.置信区间
答案: 下限 = −13.77 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 134.5 − 141 = −6.5
标准误
SE = √(15²/60 + 13²/40) = 2.824
误差范围
E = 2.576·2.824 = 7.275
区间
−6.5 ± 7.275 → [−13.77, 0.7746]
答案
下限 = −13.77 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
4.置信区间
答案: n = 115
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·26/4)² = 114.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 115
答案
n = 115
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.133
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
检验统计量
t = (203.2 − 200)/1.5 = 2.133
答案
t = 2.133
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 445
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·18/2.5)² = 444.1
向上取整
n = 445
答案
n = 445
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9644
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 270/5 = 54
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 302
相关系数
r = 53/√(10·302) = 0.9644
答案
r = 0.9644
8.线性回归与相关
答案: x = 20.99
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 244/5 = 48.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
回归直线
b = 150/40 = 3.75
a = 48.8 − 3.75·18 = −18.7
ŷ = −18.7 + 3.75·x
解出 x
x = (60 − (−18.7))/3.75 = 20.99
答案
x = 20.99
9.卡方检验
答案: χ² = 0.9643
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24
不吸烟者: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30
卡方统计量
χ² = (53 − 56)²/56 + (27 − 24)²/24 + (73 − 70)²/70 + (27 − 30)²/30
χ² = 0.9643
答案
χ² = 0.9643
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 28.06
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 64, 16
31–50 岁: 48, 12
51 岁及以上: 80, 20
卡方统计量
χ² = (75 − 64)²/64 + (5 − 16)²/16 + (53 − 48)²/48 + (7 − 12)²/12 + (64 − 80)²/80 + (36 − 20)²/20
χ² = 28.06
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
28.06 > 9.210
答案
χ² = 28.06
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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