统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.正态分布中等
640 g644.8 gT = X₁ + … + X₁₆?

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 644.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 644.8 g
P =
2.正态分布困难
μ = 500x = ?90%

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
3.置信区间中等
n = 16, s = 12.5LUx̄ = 24.5E = ?99%

一个包含 16 个个体的样本，均值为 24.5，标准差 s = 12.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 24.5s = 12.599%t(15) = 2.947
E =
4.置信区间困难
n = 15σ = ?Us = 8.395%

15 根机加工轴的直径样本标准差为 8.3 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 8.3 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
t −1.99801.998

64 名学生的样本平均分为 48.88，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 48.88s = 5n = 64
t =
6.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.05βσ = 15, 功效 90%, n = ?

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 3σ = 15zα = 1.645zβ = 1.282
n =
7.线性回归与相关中等
xy146256363462568xy24506070

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 295Σx² = 55Σy² = 17689Σxy = 935
r =
8.线性回归与相关困难
xy2104126178211027xy5101020x = 7

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。

n = 5x = 7
ŷ =
9.卡方检验中等
无缺陷轻微严重合计白班244535104夜班4416868合计686143172

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，轻微”的期望频数 E。

行合计 = 104列合计 = 61N = 172
E =
10.卡方检验困难
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

一个卡方拟合优度检验将 9 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。

α = 0.01
χ²crit =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μT = 640 g, σT = 1.2·√16 = 4.8 g

标准化

z = (644.8 − 640)/4.8 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587
2.正态分布

答案: x = 551.3 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

答案

x = 551.26 h
3.置信区间

答案: E = 9.209

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.947

误差范围

E = 2.947·12.5/√16 = 9.209

答案

E = 9.209
4.置信区间

答案: σ = 6.077 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·8.3² = 964.5

σ² 的限值

964.5/26.119 = 36.93
964.5/5.629 = 171.3

σ 的限值

σ = √36.93 = 6.077 µm

答案

σ = 6.077 µm

σ 的 95% 区间：[6.077, 13.09] µm。

5.假设检验与置信区间

答案: t = −1.792

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

检验统计量

t = (48.88 − 50)/0.625 = −1.792

答案

t = −1.792
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: n = 215

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·15/3)² = 214.2

向上取整

n = 215

答案

n = 215
7.线性回归与相关

答案: r = 0.9382

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

Sxy = 935 − 15·295/5 = 50
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 17689 − 295²/5 = 284

相关系数

r = 50/√(10·284) = 0.9382

答案

r = 0.9382
8.线性回归与相关

答案: ŷ = 19.55

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 87/5 = 17.4

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

回归直线

b = 86/40 = 2.15
a = 17.4 − 2.15·6 = 4.5
ŷ = 4.5 + 2.15·x

预测

ŷ = 4.5 + 2.15·7 = 19.55

答案

ŷ = 19.55
9.卡方检验

答案: E = 36.88

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 104·61/172 = 36.88

答案

E = 36.88
10.卡方检验

答案: χ²crit = 20.09

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = 9 − 1 = 8

表

χ²crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090

答案

χ²crit = 20.090

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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