正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0154。求 z，保留两位小数。
A = 0.0154
z =
2.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
3.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 84.5，标准差 s = 9.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 25x̄ = 84.5s = 9.590%t(24) = 1.711
下限 =
4.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 3.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 3.1 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.55，差值的标准差为 7.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 20d̄ = 5.55sd = 7.3
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 44 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 192 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 192n₂ = 300
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (26, 137)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(26, 137)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 58列合计 = 48N = 135
E =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 2.16
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0154 = 0.9846
反向查 z 表
在表中找到 0.9846，读出 z。
z = 2.16
答案
z = 2.16
2.正态分布
答案: x = 26.95 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min
答案
x = 26.95 min
3.置信区间
答案: 下限 = 81.25
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 1.711
误差范围
E = 1.711·9.5/√25 = 3.251
区间
84.5 ± 3.251 → [81.25, 87.75]
答案
下限 = 81.25
4.置信区间
答案: σ = 2.27 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·3.1² = 134.5
σ² 的限值
134.5/26.119 = 5.151
134.5/5.629 = 23.9
σ 的限值
σ = √5.151 = 2.27 µm
答案
σ = 2.27 µm
σ 的 95% 区间：[2.27, 4.889] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = 3.4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.3/√20 = 1.632
检验统计量
t = 5.55/1.632 = 3.4
答案
t = 3.4
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −1.474
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 44/80 = 0.55
p̂₂ = 192/300 = 0.64
p̂ = 236/380 = 0.6211
H₀ 下的标准误
SE = √(0.6211·0.3789·(1/80 + 1/300)) = 0.06104
检验统计量
z = (0.55 − 0.64)/0.06104 = −1.474
答案
z = −1.474
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9687
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 328/6 = 54.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
Syy = Σ(y − ȳ)² = 819.3
相关系数
r = 232/√(70·819.3) = 0.9687
答案
r = 0.9687
8.线性回归与相关
答案: e = 1.833
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 679/6 = 113.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385
回归直线
b = 385/70 = 5.5
a = 113.2 − 5.5·22 = −7.833
ŷ = −7.833 + 5.5·x
预测值
ŷ = −7.833 + 5.5·26 = 135.2
残差
e = 137 − 135.2 = 1.833
答案
e = 1.833
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: E = 20.62
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 58·48/135 = 20.62
答案
E = 20.62
10.卡方检验
答案: χ² = 2.937
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 24, 56
31–50 岁: 18, 42
51 岁及以上: 18, 42
卡方统计量
χ² = (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42
χ² = 2.937
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
2.937 < 9.210
答案
χ² = 2.937
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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