统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 124.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5< 124.4 kg

P =

2.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 25% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分25%

x = 分

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 97.5 h，已知标准差 11 h。型号 2：60 部手机，均值 92 h，已知标准差 3 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 100x̄₁ = 97.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 92 hσ₂ = 3 h95%

下限 = h

4.置信区间困难

总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 29E = 0.590%

n =

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 73 mm，该生产线的已知标准差为 16 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 68.8 mm，已知标准差为 16 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 73 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 60x̄₂ = 68.8 mmσ₂ = 16 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 120 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 66 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 66n₂ = 100

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 90Σy = 233Σx² = 1660Σy² = 11659Σxy = 4372

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 52？

n = 6ŷ = 52

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1402 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

对一个 2 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。该检验的自由度 df 是多少？

2 × 3

df =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.2946

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

标准化

z = (124.4 − 125)/1.118 = −0.54

概率

P = Φ(−0.54) = 0.2946

答案

P = 0.2946

2.正态分布

答案: x = 90 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 100 − 0.67·15 = 90 分

答案

x = 90 分

3.置信区间

答案: 下限 = 3.214 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 97.5 − 92 = 5.5

标准误

SE = √(11²/100 + 3²/60) = 1.166

误差范围

E = 1.96·1.166 = 2.286

区间

5.5 ± 2.286 → [3.214, 7.786]

答案

下限 = 3.214 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: n = 9104

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·29/0.5)² = 9103

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 9104

答案

n = 9104

5.假设检验与置信区间

答案: z = 1.607

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(16²/100 + 16²/60) = √6.827 = 2.613

检验统计量

z = (73 − 68.8)/2.613 = 1.607

答案

z = 1.607

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.009

样本比例

p̂₁ = 120/200 = 0.6

p̂₂ = 66/100 = 0.66

p̂ = 186/300 = 0.62

H₀ 下的标准误

SE = √(0.62·0.38·(1/200 + 1/100)) = 0.05945

检验统计量

z = (0.6 − 0.66)/0.05945 = −1.009

答案

z = −1.009

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9943

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 4372 − 90·233/5 = 178

S_xx = 1660 − 90²/5 = 40

S_yy = 11659 − 233²/5 = 801.2

答案

r = 0.9943

8.线性回归与相关

答案: x = 10.1

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 246/6 = 41

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

回归直线

b = 188/70 = 2.686

a = 41 − 2.686·6 = 24.89

ŷ = 24.89 + 2.686·x

解出 x

x = (52 − 24.89)/2.686 = 10.1

答案

x = 10.1

9.卡方检验

答案: χ² = 4.242

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

新药: 80·63/140 = 36, 80·77/140 = 44

安慰剂: 60·63/140 = 27, 60·77/140 = 33

卡方统计量

χ² = (30 − 36)²/36 + (50 − 44)²/44 + (33 − 27)²/27 + (27 − 33)²/33

χ² = 4.242

答案

χ² = 4.242

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: df = 2

自由度

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

答案

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference