梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 8 mP1 = 45 kN 位于 2 mP2 = 60 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 12 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 4 mw0 = 12 kN/mP = 50 kN 位于 4 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP1 = 65 kN 位于 4 mP2 = 15 kN 位于 7 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 25 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 56.25 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 60·6
RB = 450/8 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 56.25 = 48.75 kN
答案
RB = 56.25 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 232 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 24·1.333 + 50·4 = 232 kN·m
答案
MA = 232 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Mmax = 137.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 65·4 + 15·7
RB = 365/8 = 45.63 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45.63 = 34.38 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·4 = 34.38·4 = 137.5 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1 = 45.63·1 = 45.63 kN·m
最大值
Mmax = 137.5 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 137.5 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 60 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·4 + 6·5·2.5
RB = 315/5 = 63 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 63 = 27 kN
V = 0 在哪里？
V(4⁻) = RA − w·4 = 3 kN
V(4⁺) = 3 − 60 = −57 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 27·4 − 6·4²/2 = 60 kN·m
答案
Mmax = 60 kN·m
它出现在距 A 为 x = 4 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 33.75 kN (T), BC: 33.75 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 56.25 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 18.75 kN (T), HC: 25 kN (T)
答案
零杆: DH
6.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 10 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 21.21 kN (T), HC: 7.071 kN (C)
答案
零杆: BF
7.梁的挠度
答案: δmax = 30.3 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 30.3 mm
答案
δmax = 30.3 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 132 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·3000⁴/(384·11000·10) = 2.397 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.397 × 10⁷/125)1/3 = 132 mm
答案
hreq = 132 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 23.31 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2100² = 23313 N = 23.31 kN
答案
Pcr = 23.31 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 27.76 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答案
σcr = 27.76 MPa
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