梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 6 mP = 60 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP = 35 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 8 到 10 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 6 m10 kN @ 10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP = 55 kN 位于 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 30 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 30 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 115 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 288 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 60·3 + 36·3 = 288 kN·m
答案
MA = 288 kN·m
2.梁的支座反力
答案: RA = 32.7 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN，作用于 x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·1 + 6·2·9
RB = 143/10 = 14.3 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 14.3 = 32.7 kN
答案
RA = 32.7 kN
3.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 19.17 kN, R2 = 25.83 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 38.33, MC = 76.67, MD = 115 kN·m, ME = 83.33, MF = 51.67, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 115 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 158.9 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·6 + 12·8·4
RB = 714/8 = 89.25 kN
ΣFy = 0: RA = 151 − 89.25 = 61.75 kN
V = 0 在哪里？
RA − w·x0 = 0 → x0 = 61.75/12 = 5.146 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 61.75·5.146 − 12·5.146²/2 = 158.9 kN·m
答案
Mmax = 158.9 kN·m
它出现在距 A 为 x = 5.146 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 18.75 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 36.25 kN (C), AF: 26.52 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 18.75 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 26.52 kN (C), DG: 1.768 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAB = −55.9 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·2 − 30·4 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − −5 = 50 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −50/0.8944 = −55.9 kN
答案
FAB = −55.9 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δB = 8.696 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 2.174 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003261 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8.696 mm
答案
δB = 8.696 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11.11) = 2.25 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.008 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3500² = 3008 N = 3.008 kN
答案
Pcr = 3.008 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 58.69 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.69 mm
答案
d = 58.69 mm
校核：长细比 KL/r 为 136.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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