结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 40 kNM = 20 kN·mABRB​ = ?3 m2 m5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。

L = 10 mP = 40 kN 位于 3 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m3 m3 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 10 mP = 55 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 4 到 7 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
M0​ = 45 kN·mAB1 m9 m

简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 45 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mM0 = 45 kN·m 顺时针，作用于 1 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mABC4 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。

L = 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
xc = m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB15 kN25 kN5 m3 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 25 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 1.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mABδ5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 m20 × 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 60 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 60 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 60 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 10 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·10 − 40·3 + 20 = 0
RB = 100/10 = 10 kN

竖向平衡

RA = 40 − 10 = 30 kN

答案

RB = 10 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: RA = 52.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m3 m3 m3 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN，作用于 x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 2·3·5.5
RB = 88/10 = 8.8 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 8.8 = 52.2 kN

答案

RA = 52.2 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = −4.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 45/10 = 4.5 kN (向上)
RA = −RB = −4.5 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −4.5·1 = −4.5 kN·m

答案

Mx = −4.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: xc = 3 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·6·3
RB = 36/4 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 9 = 3 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·3/2 = 3 m

答案

xc = 3 m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 10 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.7071 = −14.14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14.14)·0.7071 = 10 kN

答案

FAC = 10 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −26.87 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 + 25·2 → Cy = 19 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 19 = −4 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −19/0.7071 = −26.87 kN

答案

FBC = −26.87 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 2.82 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 2.82 mm

答案

δmax = 2.82 mm
8.梁的挠度

答案: hreq = 242.2 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·20) = 1.48 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.48 × 10⁸/125)1/3 = 242.2 mm

答案

hreq = 242.2 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: Pcr = 8.188 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8.188 kN

答案

Pcr = 8.188 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 59.02 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 59.02 mm

答案

d = 59.02 mm

校核：长细比 KL/r 为 189.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis