结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 45 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​3 m4 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 8 mP1 = 45 kN 位于 3 mP2 = 40 kN 位于 7 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 12 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?7 m1 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 12 kN/m；另在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 80 kN 位于 7 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
w = 10 kN/mAB截面7 m1 m

求距支座 A 为 x = 7 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mP = 10 kNAB截面4 m1 m5 m

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 10 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB30 kN6 m1 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB30 kN20 kN5 m2 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 20 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 5 kN/mP = 20 kNABδ2 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
P = 29 kNABδ4.5 m1.5 m

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。

P = 29 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 4 m25 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 2.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 33.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 45 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​3 m4 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 40·7
RB = 415/8 = 51.88 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 51.88 = 33.13 kN

答案

RA = 33.13 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 816 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 48·5.333 + 80·7 = 816 kN·m

答案

MA = 816 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 35 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40截面7 m1 m

在 x = 7 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 40·7 − 10·7·3.5 = 35 kN·m

答案

Mx = 35 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 145 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·4 + 10·10·5
RB = 540/10 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 54 = 56 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 56RB​ = 54截面4 m1 m5 m

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 56·5 − 10·(5 − 4) − 10·5·2.5 = 145 kN·m

答案

Mx = 145 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −26.35 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 5 = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −25/0.9487 = −26.35 kN

答案

FAB = −26.35 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = 5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 − 20·4 → Cy = −4 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − −4 = 34 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−4/0.8 = 5 kN

答案

FBC = 5 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 3.77 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(3EI) = 20000·2000³/(3·1.68 × 10¹³) = 3.175 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 0.5952 mm

相加

δ = 3.175 + 0.5952 = 3.77 mm

答案

δ = 3.77 mm
8.梁的挠度

答案: δmid = 19.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1500·(3·6000² − 4·1500²)/(48·4.6 × 10¹²) = 19.5 mm

答案

δmid = 19.5 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 64.26 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2000² = 64255 N = 64.26 kN

答案

Pcr = 64.26 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 7.896 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/5 = 500

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

答案

σcr = 7.896 MPa

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