结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 8 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?4.5 m0.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 5 mP = 50 kN 位于 4.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m4 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP = 55 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 3 到 7 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
M0​ = 35 kN·mAB9 m1 m

简支梁在距 A 为 x = 9 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 35 kN·m，没有其他荷载。 求力偶右侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mM0 = 35 kN·m 顺时针，作用于 9 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
55 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN25 kN5 m3 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 8 kN/mABθ6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mAB5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。

L = 5 mw = 4 kN/m
MA = kN·m
9.柱的屈曲中等
PL = 5 m20 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 150 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 150 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 325 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2.5 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 50·4.5 + 40·2.5 = 325 kN·m

答案

MA = 325 kN·m
2.梁的支座反力

答案: RB = 11.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m2 m4 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 2·4·5
RB = 95/8 = 11.88 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 11.88 = 51.13 kN

答案

RB = 11.88 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 3.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 35/10 = 3.5 kN (向上)
RA = −RB = −3.5 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 RA 和力偶。

Mx = RA·a + M0 = −3.5·9 + 35 = 3.5 kN·m

答案

Mx = 3.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 40 kN, R2 = 65 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −110, MC = −140, MD = −170, ME = −200 kN·m, MF = −100, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −200 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −46.38 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0.9701 = −46.38 kN

答案

FAB = −46.38 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −32.53 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·3 − 25·3 → Cy = −3 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −3 = 23 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −23/0.7071 = −32.53 kN

答案

FAB = −32.53 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: θA = 0.01224 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

端部转角

θA = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·5.88 × 10¹²) = 0.01224 rad

答案

θA = 0.01224 rad

即 0.7016°。

8.梁的挠度

答案: MA = 12.5 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7.5 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

MA = wL²/2 − RB·L = 50 − 37.5 = 12.5 kN·m

答案

MA = 12.5 kN·m
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.895 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5.895 kN

答案

Pcr = 5.895 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 56.86 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 56.86 mm

答案

d = 56.86 mm

校核：长细比 KL/r 为 105.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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