结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 50 kN 位于 3 mP₂ = 25 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 55 kN 位于 7 mw = 2 kN/m，从 2 到 6 m

R_B = kN

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 65 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 15 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 3 kNa = 1 mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 21 kNL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 30 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 35.42 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3 + 25·3.5

R_B = 237.5/6 = 39.58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 39.58 = 35.42 kN

答案

R_A = 35.42 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 52.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 2·4·4

R_B = 417/8 = 52.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 52.13 = 10.88 kN

答案

R_B = 52.13 kN

3.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 77 kN, R₂ = 77 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 212, M_D = 246 kN·m, M_E = 212, M_F = 130, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 246 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·3 + 2·5·2.5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 44 = 31 kN

V = 0 在哪里？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 25 kN

V(3⁺) = 25 − 65 = −40 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 31·3 − 2·3²/2 = 84 kN·m

答案

M_max = 84 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −9.004 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 → C_y = 9.375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 9.375 = 5.625 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/6.403 = 0.6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5.625/0.6247 = −9.004 kN

答案

F_AB = −9.004 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 10 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 + 10·3 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 10 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0.7071 = −14.14 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14.14)·0.7071 = 10 kN

答案

F_AC = 10 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: δ_B = 12.85 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 3.953 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.005929 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.85 mm

答案

δ_B = 12.85 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 53 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 21000 N, L = 8000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

一个荷载位于 L/3 处

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 26.5 mm

两个荷载相加

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 53 mm

答案

δ_max = 53 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 2.811 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4000² = 2811 N = 2.811 kN

答案

P_cr = 2.811 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 69.42 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.42 mm

答案

d = 69.42 mm

校核：长细比 KL/r 为 288.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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