结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 30 kN 位于 1.5 mP₂ = 25 kN 位于 4 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 2.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 3.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 4 mP = 30 kN 位于 2.5 m, θ = 30°Q = 45 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

V_x = kN

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 45 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 80 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 80 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 29 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1.5 + 25·4

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 29 = 26 kN

答案

R_B = 29 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 28.31 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 30·sin 30° = 15 kN

P_h = 30·cos 30° = 25.98 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2.5 + 45·3.5 → R_B = 48.75 kN

A_y = 15 + 45 − 48.75 = 11.25 kN

A_x = P_h = 25.98 kN

A 处的合力

R_A = √(25.98² + 11.25²) = 28.31 kN

答案

R_A = 28.31 kN

3.剪力和弯矩

答案: V_x = 6 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 8 − 4·0.5 = 6 kN

答案

V_x = 6 kN

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 15.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 3·4·2

R_B = 69/4 = 17.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 17.25 = 9.75 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 9.75·3 − 3·3·1.5 = 15.75 kN·m

答案

M_x = 15.75 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 33.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−47.73)·0.7071 = 33.75 kN

答案

F_AC = 33.75 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −27.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 − 20·3 → C_y = −11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −11.25 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26.25/0.9487 = −27.67 kN

答案

F_AB = −27.67 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_max = 25 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 25 mm

答案

δ_max = 25 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 26.67 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·8000³/(48·1.12 × 10¹³) = 2.857 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 23.81 mm

相加

δ_max = 2.857 + 23.81 = 26.67 mm

答案

δ_max = 26.67 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 17.58 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17.58 kN

答案

P_cr = 17.58 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 85.35 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 85.35 mm

答案

d = 85.35 mm

校核：长细比 KL/r 为 140.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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