梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 4 mAC = 5 mP1 = 35 kN 位于 0.5 mP2 = 40 kN 位于 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP = 25 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 4 到 10 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 45 kN·m，没有其他荷载。 求力偶右侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mM0 = 45 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP = 80 kN 位于 4.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
C: 35 kN ↓D: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 18 kNa = 1.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 20.63 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·4 = 35·0.5 + 40·5
RB = 217.5/4 = 54.38 kN
竖向平衡
RA = 35 + 40 − 54.38 = 20.63 kN
答案
RA = 20.63 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 36.1 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·1 + 8·6·7
RB = 361/10 = 36.1 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 36.1 = 36.9 kN
答案
RB = 36.1 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 33.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 45/8 = 5.625 kN (向上)
RA = −RB = −5.625 kN (向下)
在力偶右侧紧邻处截开
左侧部分现在包含 RA 和力偶。
Mx = RA·a + M0 = −5.625·2 + 45 = 33.75 kN·m
答案
Mx = 33.75 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 117 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·4.5 + 8·6·3
RB = 504/6 = 84 kN
ΣFy = 0: RA = 128 − 84 = 44 kN
V = 0 在哪里？
V(4.5⁻) = RA − w·4.5 = 8 kN
V(4.5⁺) = 8 − 80 = −72 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·4.5 − w·4.5²/2 = 44·4.5 − 8·4.5²/2 = 117 kN·m
答案
Mmax = 117 kN·m
它出现在距 A 为 x = 4.5 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 41.25 kN (T), BC: 41.25 kN (T), CD: 73.75 kN (T), DE: 73.75 kN (T), FG: 82.5 kN (C), GH: 82.5 kN (C), AF: 58.34 kN (C), HE: 104.3 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 58.34 kN (T), HC: 12.37 kN (T)
答案
零杆: BF
6.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 9.167 kN (T), BC: 9.167 kN (T), CD: 20.83 kN (T), DE: 20.83 kN (T), FG: 38.33 kN (C), GH: 38.33 kN (C), AF: 23.96 kN (C), HE: 26.04 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 23.96 kN (T), HC: 9.375 kN (T)
答案
零杆: BF
7.梁的挠度
答案: δP = 76.58 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1500²·4500²/(3·5.95 × 10¹¹·6000) = 76.58 mm
答案
δP = 76.58 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 172.3 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·12) = 3.196 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.196 × 10⁷/75)1/3 = 172.3 mm
答案
hreq = 172.3 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 51.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2000² = 51404 N = 51.4 kN
答案
Pcr = 51.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12.5 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis