结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m4 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP1 = 20 kN 位于 1 mP2 = 30 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 15 kNABCRB​ = ?2 m1 m5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 15 kN 位于 2 mw = 2 kN/m，从 3 到 10 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mAB截面0.5 m7.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 0.5 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
10 kN/m10 kN60 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m60 kN @ 12 m20 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN8 m3 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN10 kN4 m3 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 10 kN ←
FAC = kN
7.梁的挠度中等
P = 4 kNABδ1.5 m1 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 4 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
P = 25 kNAB1.5 m1.5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 3 mP = 25 kN 位于 1.5 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m20 × 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 17.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m3 m4 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 30·4
RB = 140/8 = 17.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17.5 = 32.5 kN

答案

RB = 17.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 15.13 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 2·7 = 14 kN, x̄ = (3 + 10)/2 = 6.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 14·6.5
RB = 121/8 = 15.13 kN
RA = 29 − 15.13 = 13.88 kN

答案

RB = 15.13 kN
3.剪力和弯矩

答案: Vx = 7 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8截面0.5 m7.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 8 − 2·0.5 = 7 kN

答案

Vx = 7 kN
4.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 10 kN, R2 = 140 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −20, MC = −40, MD = −100, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −240 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −25.24 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 → Cy = 9.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 9.375 = 15.63 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9.375/0.3714 = −25.24 kN

答案

FBC = −25.24 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 11.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 − 10·3 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 33.75 = 21.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.9487 = −35.58 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−35.58)·0.3162 = 11.25 kN

答案

FAC = 11.25 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δP = 11.36 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 4000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 4000·1500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 11.36 mm

答案

δP = 11.36 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

RB = 7.813 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 35.09 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35.09 kN

答案

Pcr = 35.09 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 26.8 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 26.8 mm

答案

d = 26.8 mm

校核：长细比 KL/r 为 298.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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