结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 20 kN 位于 4 mP₂ = 75 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 10 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 3 到 4 m

R_B = kN

3.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 35 kN 位于 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_B = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP = 35 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 15 kN →

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 12 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 30 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 45 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 117.8 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 20·4 + 75·6

R_B = 530/4.5 = 117.8 kN

竖向平衡

R_A = 20 + 75 − 117.8 = −22.78 kN

答案

R_B = 117.8 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_B = 6.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·1 + 12·1·3.5

R_B = 52/8 = 6.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 6.5 = 15.5 kN

答案

R_B = 6.5 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_B = −35 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 35·5

R_B = 205/4 = 51.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 51.25 = 13.75 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P₂，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

M_B = −P₂·a = −35·1 = −35 kN·m

答案

M_B = −35 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 75.08 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1.5 + 10·6·3

R_B = 232.5/6 = 38.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 38.75 = 56.25 kN

V = 0 在哪里？

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (56.25 − 35)/10 = 2.125 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1.5) − w·x₀²/2 = 75.08 kN·m

答案

M_max = 75.08 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2.125 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 26.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 20 = 40 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.6 = −33.33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.33)·0.8 = 26.67 kN

答案

F_AC = 26.67 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −7.454 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 + 15·4 → C_y = 18.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18.33 = 6.667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.667/0.8944 = −7.454 kN

答案

F_AB = −7.454 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_max = 57.14 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·8000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 57.14 mm

答案

δ_max = 57.14 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 3.224 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·2.52 × 10¹²) = 1.984 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 1.24 mm

相加

δ_max = 1.984 + 1.24 = 3.224 mm

答案

δ_max = 3.224 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 29.14 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2100² = 29141 N = 29.14 kN

答案

P_cr = 29.14 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 43.9 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.9 mm

答案

d = 43.9 mm

校核：长细比 KL/r 为 182.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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