结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 10 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP1 = 10 kN 位于 1 mP2 = 45 kN 位于 2 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m6 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 10 mP = 10 kN 位于 9 mw = 12 kN/m，从 2 到 3 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
M0​ = 30 kN·mAB2.5 m3.5 m

简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 30 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM0 = 30 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mP = 60 kNAB截面1.5 m2.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 60 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB35 kN8 m3 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN25 kN8 m2 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 25 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 1.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mP = 13 kNδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 15 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 15 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 30 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 10 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 45·2
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 25 = 30 kN

答案

RA = 30 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 12 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​RB​2 m1 m6 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·9 + 12·1·2.5
RB = 120/10 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 12 = 10 kN

答案

RB = 12 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = −12.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 30/6 = 5 kN (向上)
RA = −RB = −5 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −5·2.5 = −12.5 kN·m

答案

Mx = −12.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 10·4·2
RB = 170/4 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 42.5 = 57.5 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 57.5RB​ = 42.5截面1.5 m2.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 57.5·1.5 − 10·1.5·0.75 = 75 kN·m

答案

Mx = 75 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 21.88 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 → Cy = 13.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 13.13 = 21.88 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.13/0.5145 = −25.51 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25.51)·0.8575 = 21.88 kN

答案

FAC = 21.88 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 36.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·2 + 25·3 → Cy = 18.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 18.13 = 16.88 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.13/0.4472 = −40.53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40.53)·0.8944 = 36.25 kN

答案

FAC = 36.25 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 1.004 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 1.004 mm

答案

δ = 1.004 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 2.965 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·4.6 × 10¹²) = 1.59 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.376 mm

相加

δmax = 1.59 + 1.376 = 2.965 mm

答案

δmax = 2.965 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 4.395 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4.395 kN

答案

Pcr = 4.395 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 40.86 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 40.86 mm

答案

d = 40.86 mm

校核：长细比 KL/r 为 293.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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