结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 35 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?1.5 m2 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP1 = 35 kN 位于 1.5 mP2 = 55 kN 位于 3.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1 mw = 5 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 12 kN/mAB截面3.5 m0.5 m

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mAB3 m3 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 3 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB20 kN8 m3 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN30 kN6 m5 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 30 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
P = 6 kNABδ1.5 m2.5 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 6 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 12 kN/mδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 70 kNL = 5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 70 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 49 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 35 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1.5 m2 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 35·1.5 + 55·3.5
RB = 245/5 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 49 = 41 kN

答案

RB = 49 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 40.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 5·1·1.5
RB = 57.5/4 = 14.38 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 14.38 = 40.63 kN

答案

RA = 40.63 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 10.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24截面3.5 m0.5 m

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·3.5 − 12·3.5·1.75 = 10.5 kN·m

答案

Mx = 10.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 25.31 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3·1.5
RB = 45/6 = 7.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 7.5 = 22.5 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 22.5/10 = 2.25 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 22.5·2.25 − 10·2.25²/2 = 25.31 kN·m

答案

Mmax = 25.31 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·3 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 7.5 = 12.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.3714 = −20.19 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20.19)·0.9285 = 18.75 kN

答案

FAC = 18.75 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −19.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 − 30·3 → Cy = 18.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 18.33 = 21.67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.33/0.9487 = −19.33 kN

答案

FBC = −19.33 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 17.05 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 6000·1500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 17.05 mm

答案

δP = 17.05 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16.67) = 6.075 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 55.56 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 2·2500 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55.56 kN

答案

Pcr = 55.56 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 75.36 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 75.36 mm

答案

d = 75.36 mm

校核：长细比 KL/r 为 132.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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