结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 10 kN 位于 5 mP₂ = 15 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP = 80 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 4 到 10 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 m

x₀ = m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 40 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 28 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 5.625 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5 + 15·7

R_B = 155/8 = 19.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 19.38 = 5.625 kN

答案

R_A = 5.625 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 43.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·2 + 60·7

R_B = 580/6 = 96.67 kN

R_A = 140 − 96.67 = 43.33 kN

答案

R_A = 43.33 kN

3.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 63.33 kN, R₂ = 46.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 58.33, M_C = 106.7 kN·m, M_D = 95, M_E = 73.33, M_F = 41.67, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 106.7 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: x₀ = 2.4 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·4·2

R_B = 64/5 = 12.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 12.8 = 19.2 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 19.2/8 = 2.4 m

答案

x₀ = 2.4 m

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −32.98 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 → C_y = 32 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 32 = 8 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −32/0.9701 = −32.98 kN

答案

F_BC = −32.98 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 14 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 − 20·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 21 = 34 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0.8321 = −25.24 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25.24)·0.5547 = 14 kN

答案

F_AC = 14 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.002647 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 4·3000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.002647 rad

答案

θ_A = 0.002647 rad

即 0.1517°。

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 2.993 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 28000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 28000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1.14 × 10¹³) = 2.993 mm

答案

δ_mid = 2.993 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 506.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506.2 kN

答案

P_cr = 506.2 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 8.567 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/6.25 = 480

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

答案

σ_cr = 8.567 MPa

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