结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 50 kNP2​ = 30 kNABCRB​ = ?1 m3 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP1 = 50 kN 位于 1 mP2 = 30 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​2 m0.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 45 kN 位于 2.5 mw = 5 kN/m，从 2 到 4 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 6 kN/mAB截面5 m3 m

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mP = 20 kNAB截面1.5 m3.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB35 kN5 m4 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 35 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN30 kN5 m4 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 30 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 2 kN/mδL = 6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 2 kN/mδL = 4 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 135 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 57.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 30·6
RB = 230/4 = 57.5 kN

竖向平衡

RA = 50 + 30 − 57.5 = 22.5 kN

答案

RB = 57.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 19.38 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​RB​2 m0.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2.5 + 5·2·3
RB = 142.5/4 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 35.63 = 19.38 kN

答案

RA = 19.38 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 45 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24截面5 m3 m

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·5 − 6·5·2.5 = 45 kN·m

答案

Mx = 45 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 28.88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.5 + 3·5·2.5
RB = 67.5/5 = 13.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 13.5 = 21.5 kN
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = 21.5RB​ = 13.5截面1.5 m3.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 21.5·1.5 − 3·1.5·0.75 = 28.88 kN·m

答案

Mx = 28.88 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −9.899 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·4 → Cy = 28 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 28 = 7 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7/0.7071 = −9.899 kN

答案

FAB = −9.899 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = 2.108 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 − 30·3 → Cy = −2 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −2 = 22 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−2/0.9487 = 2.108 kN

答案

FBC = 2.108 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 7.337 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 7.337 mm

答案

δmax = 7.337 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 54.55 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11.11) = 5.455 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 54.55 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 54.55 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 110.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN

答案

Pcr = 110.2 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 92 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92 mm

答案

d = 92 mm

校核：长细比 KL/r 为 130.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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