结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 8 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 10 mP = 55 kN 位于 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 6 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 3 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 4 mAD = 8 mP = 80 kN 位于 6 mw = 3 kN/m，从 4 到 8 mQ = 50 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 75 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 8 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 150 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 85 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2.5 m

竖向平衡

R_A = P + W = 55 + 30 = 85 kN

答案

R_A = 85 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 334 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 3·4 = 12 kN 位于 2 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 80·2 + 12·2

R_D = 46 kN

V_C = 92 − 46 = 46 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 50 + 46 = 96 kN

M_A = 50·3 + 46·4 = 334 kN·m

答案

M_A = 334 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 2.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 5·0.5 − 2·0.5·0.25 = 2.25 kN·m

答案

M_x = 2.25 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 300 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·4 + 10·10·5

R_B = 800/10 = 80 kN

ΣF_y = 0: R_A = 175 − 80 = 95 kN

V = 0 在哪里？

V(4⁻) = R_A − w·4 = 55 kN

V(4⁺) = 55 − 75 = −20 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 95·4 − 10·4²/2 = 300 kN·m

答案

M_max = 300 kN·m

它出现在距 A 为 x = 4 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 2.813 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11.25 = 3.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.9701 = −11.6 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.6)·0.2425 = 2.813 kN

答案

F_AC = 2.813 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = 9.019 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 − 20·4 → C_y = −8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −8.75 = 23.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−8.75/0.9701 = 9.019 kN

答案

F_BC = 9.019 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: δ = 2.019 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·6.27 × 10¹¹) = 2.019 mm

答案

δ = 2.019 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 120 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = wL²/2 − R_B·L = 480 − 360 = 120 kN·m

答案

M_A = 120 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 7.087 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7.087 kN

答案

P_cr = 7.087 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 79.03 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 79.03 mm

答案

d = 79.03 mm

校核：长细比 KL/r 为 106.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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