结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 35 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?3 m4 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 7 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 3 mM = 25 kN·m (逆时针) 位于 7 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m0.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 20 kN 位于 2.5 mw = 6 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mAB截面4.5 m0.5 m

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 4.5 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
w = 4 kN/mP = 40 kNAB截面2.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 40 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN4 m1 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN15 kN6 m5 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 15 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 3 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 2 kN/mδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 105 kNL = 2 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 105 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 10 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·8 − 35·3 + 25 = 0
RB = 80/8 = 10 kN

竖向平衡

RA = 35 − 10 = 25 kN

答案

RB = 10 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: RA = 11.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m0.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2.5 + 6·1·1.5
RB = 59/4 = 14.75 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 14.75 = 11.25 kN

答案

RA = 11.25 kN
3.剪力和弯矩

答案: Vx = −4 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 5RB​ = 5截面4.5 m0.5 m

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 5 − 2·4.5 = −4 kN

答案

Vx = −4 kN
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 45 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2.5 + 4·4·2
RB = 132/4 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 33 = 23 kN
w = 4 kN/mP = 40 kNABRA​ = 23RB​ = 33截面2.5 m1.5 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 23·2.5 − 4·2.5·1.25 = 45 kN·m

答案

Mx = 45 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −20.96 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18.75/0.8944 = −20.96 kN

答案

FAB = −20.96 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −56.83 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 + 15·2 → Cy = 50.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 50.83 = 4.167 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −50.83/0.8944 = −56.83 kN

答案

FBC = −56.83 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 1.057 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.057 mm

答案

δmax = 1.057 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 8.478 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1250² = 8478 N = 8.478 kN

答案

Pcr = 8.478 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 60.05 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.05 mm

答案

d = 60.05 mm

校核：长细比 KL/r 为 133.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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