结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 30 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​2 m4 m4 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 10 mP1 = 30 kN 位于 2 mP2 = 55 kN 位于 6 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 20 kNADCRD​ = ?3 m3 m2 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 6 m 处的集中荷载 P。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 3 mAD = 8 mP = 20 kN 位于 6 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 8 kN/mAB截面7.5 m0.5 m

求距支座 A 为 x = 7.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 mx = 7.5 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mABC6 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
MB = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB15 kN8 m7 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 15 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN5 kN4 m1 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 3 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 8 kN/mP = 11 kNδL = 5 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 11 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 5 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 40 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 40 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 46 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 30 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2 m4 m4 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·10 = 30·2 + 55·6
RB = 390/10 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 39 = 46 kN

答案

RA = 46 kN
2.梁的支座反力

答案: RD = 12 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·5 = 20·3
RD = 12 kN
VC = 20 − 12 = 8 kN

答案

RD = 12 kN
3.剪力和弯矩

答案: Vx = −28 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 32RB​ = 32截面7.5 m0.5 m

在 x = 7.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 32 − 8·7.5 = −28 kN

答案

Vx = −28 kN
4.剪力和弯矩

答案: MB = −6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·8·4
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 16 = 8 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

MB = −w·a²/2 = −3·2²/2 = −6 kN·m

答案

MB = −6 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 6.563 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 → Cy = 13.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13.13 = 1.875 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.13/0.8944 = −14.67 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14.67)·0.4472 = 6.563 kN

答案

FAC = 6.563 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −36.34 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 5·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 7.5 = 32.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −32.5/0.8944 = −36.34 kN

答案

FAB = −36.34 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 33.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 33.02 mm

答案

δ = 33.02 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 71.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 11000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 11000·5000³/(48·1.32 × 10¹²) = 21.7 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 49.32 mm

相加

δmax = 21.7 + 49.32 = 71.02 mm

答案

δmax = 71.02 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 12.56 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 2·5000 = 10000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12.56 kN

答案

Pcr = 12.56 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 86.74 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.74 mm

答案

d = 86.74 mm

校核：长细比 KL/r 为 184.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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