结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 4 kN/m 减小到 B 处的零。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 10 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 7.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 7.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 9 mw = 8 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

x_c = m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 8 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 4 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2

R_B = 4 kN

R_A = 12 − 4 = 8 kN

答案

R_B = 4 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 151.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1.667 + 55·2 = 151.7 kN·m

答案

M_A = 151.7 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 93.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

在 x = 7.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 50·7.5 − 10·7.5·3.75 = 93.75 kN·m

答案

M_x = 93.75 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: x_c = 7.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·9·4.5

R_B = 324/8 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 40.5 = 31.5 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·31.5/8 = 7.875 m

答案

x_c = 7.875 m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 15 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0.9487 = −47.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−47.43)·0.3162 = 15 kN

答案

F_AC = 15 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = −20 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 − 30·3 → C_y = −20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −20 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−20/0.7071 = 28.28 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(28.28)·0.7071 = −20 kN

答案

F_AC = −20 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_B = 2.222 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 8000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.8889 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0006667 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.222 mm

答案

δ_B = 2.222 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2500⁴/(384·70000·6.944) = 2.093 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 12.21 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12.21 kN

答案

P_cr = 12.21 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 197.4 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7.5 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答案

σ_cr = 197.4 MPa

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