梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 4 mP = 60 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 5 mP = 45 kN 位于 3.5 mw = 6 kN/m，从 2 到 5 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6.5 mP1 = 80 kN 位于 3 mP2 = 25 kN 位于 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
MB = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mP = 10 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓H: 15 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 1.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 246.3 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 2·2.5 = 5 kN, x̄ = 1.25 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 60·4 + 5·1.25 = 246.3 kN·m
答案
MA = 246.3 kN·m
2.梁的支座反力
答案: RB = 44.1 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3.5 + 6·3·3.5
RB = 220.5/5 = 44.1 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 44.1 = 18.9 kN
答案
RB = 44.1 kN
3.剪力和弯矩
答案: MB = −37.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·5 = 80·3 + 25·6.5
RB = 402.5/5 = 80.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 80.5 = 24.5 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上只作用 P2，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。
MB = −P2·a = −25·1.5 = −37.5 kN·m
答案
MB = −37.5 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 18 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1 + 4·5·2.5
RB = 60/5 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 12 = 18 kN
V = 0 在哪里？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (18 − 10)/4 = 2 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 18 kN·m
答案
Mmax = 18 kN·m
它出现在距 A 为 x = 2 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 28.75 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 26.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 19.45 kN (C), DG: 22.98 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 28.28 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 7.071 kN (C), HC: 7.071 kN (T)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δmax = 3.569 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 3.569 mm
答案
δmax = 3.569 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 139.9 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 1.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3500⁴/(384·11000·11.67) = 2.284 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.284 × 10⁷/100)1/3 = 139.9 mm
答案
hreq = 139.9 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 38.59 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38.59 kN
答案
Pcr = 38.59 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 137.1 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/12.5 = 120
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa
答案
σcr = 137.1 MPa
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