结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m4 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP1 = 20 kN 位于 2 mP2 = 50 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 4 mP = 35 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
6 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mP = 35 kNAB截面1 m1 m2 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 35 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN5 m3 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 10 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB30 kN20 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 2 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 20 kN/mP = 13 kNδL = 2 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 13 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 42.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2 m4 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 50·6
RB = 340/8 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 42.5 = 27.5 kN

答案

RB = 42.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 25.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 4·4·2
RB = 102/4 = 25.5 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 25.5 = 25.5 kN

答案

RB = 25.5 kN
3.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 26 kN, R2 = 42 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 52, MC = 104, MD = 144 kN·m, ME = 120, MF = 72, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 144 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 29.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 8·4·2
RB = 134/4 = 33.5 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 33.5 = 33.5 kN
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​ = 33.5RB​ = 33.5截面1 m1 m2 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 33.5·1 − 8·1·0.5 = 29.5 kN·m

答案

Mx = 29.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −7.211 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·3 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6 = 4 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0.8321 = −7.211 kN

答案

FBC = −7.211 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 20.63 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 20·4 → Cy = 27.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 27.5 = 2.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27.5/0.8 = −34.38 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−34.38)·0.6 = 20.63 kN

答案

FAC = 20.63 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 6.313 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 6.313 mm

答案

δmax = 6.313 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 15.99 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 13000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 13000·2000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 5.471 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 10.52 mm

相加

δmax = 5.471 + 10.52 = 15.99 mm

答案

δmax = 15.99 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 6.056 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6.056 kN

答案

Pcr = 6.056 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 226.6 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7.5 = 93.33

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa

答案

σcr = 226.6 MPa

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